II. GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐ
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
$1. TÍNH CHẤT 3 ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
Ba đường trung tuyờn của tam giỏc đồng quy tại một điểm.Điểm nầy gọi là trọng tõm của tam giỏc. Trọng tõm cỏch mỗi đỉnh một khoảng bừng 2/3 độ dài trung tuyến qua đỉnh ấy .
Nõng cao : 1/ Hai tam giỏc cú chung đỉnh và cú chung một trung tuyến phỏt xuất từ đỉnh ấy thỡ cú cựng một trọng tõm .
2/ Trung tuyến của tam giỏc thỡ chia tam giỏc thành 2 diện tớch bằng nhau .
3/ Ba trung tuỷến một tam giỏc chia tam giỏc chia tam giỏc thành 6 tam giỏc nhỏ cú diẹn tớch bằng nhau .
$2. Tớnh chỏt 3 tia phõn giỏc của gúc , Tam giỏc :
1. Điểm nằm trờn tia phõn giỏc của một gúc cỏh đều hai cạnh của gúc đú .
2. Đảo lại: Điểm nằm ben trong một gúc và cach đều 2 cạnh của gúc thỡ nằm trờn tia phõn giỏc của gúc đú.
3. Ba đường phõn giỏc của tam giỏc đồng quy tại một điểm . Điểm nầy cỏch đều 3 cạnh của tam giỏc.Cũn goi là tam vũng trũn nội tiếp của tam giỏc.
4. Bổ sung: Tron một tam giỏc cỏc đường thửng chứa tia phõn giỏc của gúc ngồi và tia phõn giỏc của gúc trong khụng kề cựng đi qua một điểm.Điểm nầy cỏch đều 3 đường thẳng chứa ba cạnh của tam giỏc .
$3. Tớnh chất đường trung trực của đoạn thẳng. Tớnh chất 3 đường trung trực của tam giỏc:
1. Điểm nằm trờn trung trực của đoạn thẳng thỡ cỏch dều hai mỳt(đầu) đoạn thẳng ấy .
2. Đảo lại: Điểm cỏch đốu hai đầu mut đopạn thẳng thỡ nằm trờn trung trực đoạn thẳng đú.
3. Ba đường trung trực của tam giỏc đồng quy tại một điểm. Điểm nầy cỏch đều ba đỉnh của tam giỏc. Cũn gọi là tõm vũng tron ngoại tiếp của tam giỏc . 4. Bổ sung: Cú một đường trũn qua ba đỉnh của tam giỏc. Gọi là đường trũn ngoại
tiếp tam giỏc . Tõm đường trũn nầy là giao điẻm ba đường trung trực của tam giỏc .
5. Đường trũn ngoại tiộp của tam giỏc vuụng cú tõm là trung điẻm cạnh huyền . $4. Tớnh chất ba đường cao của tam giỏc :
1. Ba đường cao của tam giỏc đồng quy tại một điểm . Điểm đú gọi là trực tõm của tam giỏc
2. Nõng cao: - Trực tõm của tam giỏc nhọn nằm trong tam giỏc > - Trực tõm của tam giỏc vuụng nằm tại đỉnh gúc vuụng. - Trực tõm của tam giỏc tự cú đỉnh năm ngồi tam giỏc . LUYỆN TẬP:
BÀI 1. Cho tam giỏc ABNC cú AB < AC. Hai trung tuyến BE , CF cắt nhau tại G . Gọi D là trung điểm BC. Chứng minh rằng :
a/ A,G,D thẳng hàng ? b/ BE < CF
A
HD: a/ Gọi G là trọng tõm của tam giỏc nờn trung AG phải qua G => A,G,D thẳng hàng
b/ ∆ABD&∆ADC cúDB=DC;AD F E chung,AB<AC(gt) nờn Dˆ1 <Dˆ2(Đlớ: hai tgiỏc cú 2 cặp cạnh bằng nhau )
∆GDB&∆GDC cú DB=DC;GD chung,Dˆ1 <Dˆ2
Nờn GB < GC => 2/3BE<2/3 CF =>BE<CF.
BÀI 2. Cho tam giỏc ABC cỏc trung tuýen AD,BE,CF căt nhau tai G . Chứng minh rằng :
A a/ AD< AB+2AC
b/ BE+CF < 3/2 BC HD: a/ Vẽ điểm D trung điểm AM. Chứng minh F E ∆ABD=∆MCD=> AB=CM Xột ∆ACM cú AM < AC + CM hay B C 2AD < AC + AB => AD < AB+2AC D b/ Xột tam giỏc GBC cú GB+GC>BC =>2/3BE + 2/3CF > BC => BE + CF > 3/2 BC M
BÀI 3 . Cho gúc xễy . Lấy điểm A tren O x, điểm B trờn Oy. Vẽ tia phõn giỏc cỏc
gúc BA x và ABy cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với OM cắt O
x,Oy lần lượt tai C,D . Chứng minh tam giỏc OCD cõn?
HD: Xột tam giỏc AOB cú cỏc tia phõn giỏc ngồi của gúc A và B cắt nhau tai M nờn tia tia OM là tia phõn giỏc gúc xễy.=>∆MOC =∆MOD(CGC)
D =>OC = OD => ∆OCDcõn
B
O A C x
BÀI 4 . Cho tam giỏc ABC , gúc B = 120 độ. Phõn giỏc BD; CE. Đường thẳng chứa tia phõn giỏc ngồi tại đỉnh A của tam giỏc ABC cỏt BC tai F . Chứng minh rằng: a/ gúc ADF = gúc BDF
b/ Ba điểm B,E,F thẳng hàng HD: a/ gúc ABD=gúc ABF=gũcBy=60 độ
Xột tam giỏc ABD cú 2 tia phõn giỏc ngồi tại đỉnh A,B cắt nhau tại F , Suy ra DF là tia F B phõn giỏc ABD. Vậy gúc ADF=gúc BDF b/ Xột tam giỏc DBC cú tia phõn giỏc gúc C và tia phõn giỏc ngồi tại điỉnh B,cắt nhau tại E. Suy ra DE là tia phõn giỏc ngồi của ADˆ B . A D C Tia DE và DF đều là tia phõn giỏc của gúc ADB . => Nờn 3 điểm D,E,F thẳng hàng.
BÀi 5. Cho tam giỏc ABC tia phõn giỏc gúc B,C cắt nhau tại O . Từ A kể đường thẳng vuụng gúc với OA,cắt tia BO và CO lần lượt tai M và N . Chứng minh rằng : a/ BM vuụng gúc BN , b/ CM vuụng gúc CN ?
phõn giỏc gúc B và C nờn AO là tia phõn giỏc
gúc A .Cú AN vuụng gúc AO nờn AN là tia phõn N A M giỏc ngồi của đỉnh A của tam giỏc ABC.Tia phõn
giỏc ngồi AN và tia phõn giỏc trong CO của t/giỏc ABC cắt nhau tại N . Suy ra BN là tia phõn giỏc ngồi tại đỉnh B của t/giỏc ABC. Do đú BM B C vuụng gúc BN(Hai tia phõn giỏc của 2 gúc kề bự) b/Tương tự chứng minh được CM vuụng gúc CN
BÀI 6. Cho tam giỏc ABC . gúc B = 45 độ . Đường cao AH. Tia phõn giỏc BD . Cho biết gúc BDA = 45 độ . Chứng minh : HD // AB
HD:Xột tam giỏc DBC cú ADB là gúc ngồi nờn : gúc ADB = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 450 2ˆ 2 2 B C B B D A C C B + => = − => = −
Xột t/giỏc ABC cú A1 gúc ngồi nờn: A 0 1 0 1 45 2 ˆ ˆ 2 ˆ 45 ˆ ˆ ˆ ˆ =B+C =B+ −B =>A = B+ A (1)
Xột t/giỏc vuụng HAC cú gúc A2 = 90 độ - gúc C D = 90 độ - ( 45 2 ˆ 45 )) 2 ˆ 0 0−B = +B (2) Từ (1) và (2) suy ra Aˆ1 =Aˆ2
B H C Xột tam giỏc ABH cú D là giao điểm một tia phõn giỏc ngồi và tia phõn giỏc trong khụng kề nờn HD là tia phõn giỏc ngoai tại đỉnh H do đú gúc DHC = 45 độ. => HD // AB
BÀI 7. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. AB = 3 (dv), BC= 4 (dv) . Phõn giỏc gúc B,C cắt nhau tại O . Vẽ OE vuụng gúc AB và O F vuụng gúc AC.
a/ Chứng minh rằng : OA + AC - BC = 2AE b/ Tớnh khoảng cỏch O đến cỏc cạnh của ∆ ABC ? c/ Tớnh OA ? OB ? OC ?
HD: a/ Vẽ thờm OD vuụng gúc BC ta được OD=OE=O F
B Ta cũng chứng minh đựoc : AE=A F (=x) ,BE= BD(y),CD=CF(=z).Ta cú :
AB+AB-BC=(x+y)+(x+z)-(y+z=2x=2AE .
b/ Áp dụng định lý Py ta go vao tam giỏc vuụng ABC. Tớnh BC= 5
A C Ta cú 2AE=AB+AC-BC= 3+4-5 = 2 ; AE = 1. T/giỏc EOA cú gúc E=90 độgúc A =45 độ nờn vuụng cõn => AE= 1.=> OD=OE=O F=1
c/ Ta cú AB=3,AE=1=>BE=2,AC=4;A F=1 nờn CF=3. =>OA= 12+12 = 2;OB= 5;OC= 10
BÀI 8. cho tam giỏc ABC khụng vuụng. Cỏc đường trung trực AB và AC cắt nhau tại O,cỏc đường thẳng BC theo thứ tự tại M và N . Chứng minh rằng AO là tia phõn giỏc của gúc MAN .
A HD: Gọi O là giao điểm cỏc đường trung trực AB,AC nờn OA=OB=OC. Điểm M nằm trờn trung trực AB nờn MA=MB. Điểm N nằm trờn trung trực nờn NA=NC.
B N M C
∆AOM =∆BOM(CCC)=>Aˆ1 =Bˆ1;AON =∆CON(ccc)=>Aˆ2 =Cˆ2
Mặt khỏc Bˆ1 =Cˆ1vi∆BOCcan=>Aˆ2 =Aˆ2 =>AOlatiaphangiacgocMAN
BÀI 9. Cho tam giắc ABC. Trờn tia BA lấy điểm M trờn tia CA lấy điểm N sa cho BM+CN=BC. Chứng minh rằng đường trung trưc của MN luụn luụn đi qua một điểm cố định ?
HD: Vẽ cỏc tia phõn giỏc gúc Bvà C chỳng cắt N M nhau tại O đú là điểm cố định. Trờn cạnh BC lấy A điểm D sao cho BD=BM thế thỡ CD=CN.
∆BOM =∆BOD(cgc);∆CON =∆COD(CGC),
Suy ra OM=OD và ON=OD do đú OM=ON. B C Suy ra trung trực MN đi qua điểm cố định O.
BÀI 10: Cho gúc xoy. Trờn 2 cạnh Ox ; Oy lần lượt lấy cỏc điểm A,B sao cho OA+OB= 2a. Xỏc định vị trớ của A và B cú độ dài nhỏ nhất?
HD: Trờn tia O x lấy A' trờn tia Oy lấy B'sao cho y OA'=OB' =a.Ta cú OA'+OB' =OA+OB=2a
=>A A'=BB'. Gọi H ,K làn lượt là hỡnh chiếu của của A và B trờn A'B'
B' ∆HAA' = ∆KBB' => HA' = KB' => HK = A'B'
K Ta chứng minh được HK ≤ AB )dỏu = <=>A trựng B A' và B trựng B ')
Do đú A'B' ≤AB
A' A x Võy AB nhỏ nhỏt<=>OA=OB=a. H Nhận xột: Chu vi ∆OA'B' ≤chuvi∆OAB
Một cỏch tổng quỏt: Trong cỏc tam giỏc cú một gúc bằng nhau và tổng 2 cạnh kề gúc ấy bằng nhau thỡ tam giỏc cõn cú chu vi nhỏ nhất .
BÀI 11 : Cho đoạn thẳng MN = 4cm . Điẻm O nằm giữa M và N trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giỏc cõn đỉnh O là OMA và OMB sao cho gúc ở đỉnh O bằng 45 độ. Tỡm vị trớ của O để AB cú độ dài nhỏnhất. Tớnh độ dài nhỏ nhất đú ?
HD: Tam giỏc AOB :ễ=90 độ;
OA+OB=OM+ON=MN=4cm nờn AB nhỏ nhất B Khi OA=OB. Khi đú O phải là trung điểm MN. Áp dụng DL/Py-ta-go AB2=OA2 +OB2 =8
A Suy ra AB = 8(cm)
M O N
BÀI 39: Cho tam giỏc cõn ABC(AB=AC) . Đường cao phỏt xuất từ A là AD và trọng tõm G. Trờn tia điối DG lấy điểm E sao ch DE=DG.
