Định nghĩa 1
Cây là đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình đơn.
Đồ thị không liên thông được gọi là rừng (các thành phần liên thông của đồ thị là các cây của rừng).
Ví dụ 1
Trong hình 5.1 dưới đây là một rừng gồm ba cây T1, T2 và T3
Định lý 1 (Các tính chất của cây)
Giả sử T = (V,E) là đồ thị vô hướng liên thông n đỉnh. Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương.
1) T là cây
2) T không chứa chu trình và có n-1 cạnh 3) T liên thông và có n-1 cạnh
4) T liên thông và nếu bỏ đi một cạnh tuỳ ý thì đồ thị nhận được sẽ không liên thông 5) Hai đỉnh bất kỳ của T được nối với nhau bởi đúng một đường đi đơn
6) T không chứa chu trình nhưng nếu thêm vào một cạnh nối hai đỉnh không kề nhau thì xuất hiện duy nhất một chu trình.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh định lý theo sơ đồ vòng tròn như sau: 1) ⇒2) ⇒3) ⇒4) ⇒5) ⇒6) ⇒1)
1)⇒2):
Theo định nghĩa, vì T là cây nên nó không chứa chu trình. Ta đi chứng minh bằng quy nạp nếu T có n đỉnh thì nó có n-1 cạnh.
Thật vậy, với n=1 là hoàn toàn đúng.
Giả sử điều khẳng định dúng với n=k, tức là cây T có k đỉnh thì có k-1 cạnh, ta đi chứng minh khẳng định đúng với n=k+1.
Trước hết ta thấy rằng mọi cây T có k+1 đỉnh ta luôn tìm được ít nhất một đỉnh là đỉnh cheo (đỉnh có bậc bằng 1). Gọi v1, v2, ..vj là đường đi dài nhất theo số cạnh trong T, khi đó rõ ràng v1 và vj là các đỉnh treo, vì từ v1 (và vk) không có cạnh nối tới bất kì đỉnh nào khác do T không chứa chu trình và đường đang xét là đường dài nhất. Loại dỉnh v1 và cạnh (v1, v2) khỏi T ta thu được cây T1 với k đỉnh, theo giả thiết thì T1 có k-1 cạnh do đó T phải có k cạnh. Vậy khẳng định là đúng với mọi n.
2) ⇒3):
Ta chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử T không liên thông, khi đó T có k>1 thành phần liên thông T1, T2, ..,Tk. Do T không chứa chu trình nên Ti cũng không chúa chu trình, vì thế mỗi Ti là một cây. Nếu ta gọi v(Ti) và e(Ti) lần lượt là số đỉnh và cạnh của cây Ti ta sẽ có:
e(Ti) = v(Ti)-1
Suy ra n-1 = e(T) = e(T1)+e(T2)+...+e(Tk) = v(T1)+v(T2)+..+v(Tk)-k=n-k Suy ra k=1, nghĩa là T phải liên thông.
3) ⇒4):
Việc loại bỏ bất kì một cạnh nào của T đều cho ta một đồ thị n đỉnh n-2 cạnh, rõ ràng là đồ thị khi đó sẽ không liên thông.
4) ⇒5):
Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử tồn tại hai đỉnh trong T được nối với nhau bởi hai đường đi đươn khác nhau, khi đó ta hoàn toàn có thể bỏ đi một cạnh ở một trong hai đường đi đó mà đồ thị nhận được vẫn liên thông, điều này là trái với giả thiết.
5) ⇒6):
Rõ ràng T không chứa chu trình, vì nếu có thì ta sẽ tìm được một cặp đỉnh được nối với nhau bởi hai đường đi đơn, trái với giả thiết. Bây giờ nếu ta thêm vào T một cạnh e nối hai đỉnh u và v của T. Khi đó cạnh này cùng với đường đi đơn nối u và v sẽ tạo thành một chu trình. Chu trình thu được này là duy nhất vì nếu không thì trước đó phải có chu trình, điều này lại trái với giả thiết.
6) ⇒1):
Giả sử T không liên thông, khi đó T có ít nhất là hai thành phần liên thông, khi đo nếu thêm một cạnh nối hai đỉnh ở hai thành phần liên thông khác nhau ta không thu được thêm một chu trình nào cả, điều này trái với giả thiết. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định lý được chứng minh.
Định lý 2
Trong một cây số đỉnh treo là lơn hơn hoặc bằng 2.
Chứng minh
Ta chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử số đỉnh treo trong cây là nhỏ hơn 2, khi đó có hai trường hợp xãy ra: a) Số đỉnh treo băng 0
Nếu không có đỉnh treo thì xuất phát từ một đỉnh ta luôn tìm đường quay về đỉnh đó, nghĩa là luôn tìm được một chu trình, mâu thuẫn với giả thiết
b) Số đỉnh treo là 1, Ta xuất phát từ đỉnh treo này, vì mỗi đỉnh khác đỉnh treo đường đi se đi vào từ một cạnh rồi đi ra bằng một cạnh khác quá trình này sẽ vô hạnh vì nếu hữu hạn sẽ xuất hiện đỉnh treo. điều này mâu thuNn với tính hữu hạn của đồ thị.
(Định lý được chứng minh)