Bài toán 3.8.1. Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho (b, c) = 1. Biết rằng tồn tại n
nguyên dương lớn hơn 1 sao cho an =b2+c2.
i) Chứng minh rằng a là tổng của hai số chính phương. ii) Biết rằng n = p+ 1
2 trong đó p là số nguyên tố lẻ có dạng 4k+ 3 (trong đó k nguyên
dương). Chứng minh rằng tích bc chia hết cho p.
lời giải. Ta có phân tíchan= (b+ci)(b−ci). Gọid = (b+ic, b−ic)suy ra:
d|(b+ic)−(b−ic) = 2ic=⇒N(d)|N(2ic) = 4c2. (3.20)
Tương tự d|(b+ic) + (b−ic) = 2b=⇒N(d)|4b2. (3.21) Lại có N(d)|N(b+ic) = b2 +c2. Chú ý rằng b, c nguyên tố cùng nhau do đó b2+c2 lẻ suy ra N(d) lẻ. Vậy N(d)|b2 và N(d)|c2. Cũng do (b, c) = 1 và N(d) nguyên không âm nên ta có
N(d) = 1. Vậy b+ic, b−icnguyên tố cùng nhau.
Từ tính chất này suy ra tồn tại các số nguyên x, y sao cho b+ic= t1(x+iy)n và b−ic=
t2(x−iy)ntrong đót1, t2 ∈ {1,−1, i,−i}vàt1t2 = 1. Hệ quả của công thức trên làa =x2+y2 là tổng hai số chính phương. Đây là nội dung cần chứng minh của (i).
Với n = p+ 1
2 trong đó p là số nguyên tố dạng 4k + 3 (k > 1). Khi đó có hai trường hợp sau xảy ra:
Trường hợp 1: (b+ic)2= (x+iy)p+1,(b−ic)2 = (x−iy)p+1. Trường hợp 2: (b+ic)2=−(x+iy)p+1,(b−ic)2 =−(x−iy)p+1.
Trong cả hai trường hợp sau khi đem hai biểu thức trừ cho nhau và đồng nhất phần thực phần ảo ta đều có|2bc|= (p+ 1)(xpy−ypx). Theo định lý nhỏ Fermat ta cóbc chia hết cho
p. Đây là yêu cầu của(ii). Bài toán được chứng minh hoàn toàn.