I. Chu trình và đường đi Euler TOP
4. Chu trình và đường đi Euler đối với đồthị cĩ hướng TOP 1 Định lý về chu trình Euler : Đồ thị cĩ hướng G = (V, E) cĩ chứa một chu trình
1.2. Điều kiện đủ để tồn tại chu trình Hamilton
Định lý Ore (1960): Cho G = (V,E) là một đơn đồ thị liên thơng với n đỉnh (n ≥ 3) và nếu: deg(v) + deg(w) ≥ n với mọi cặp đỉnh khơng liền kề v, w trong G. Khi đĩ G cĩ chu trình Hamilton.
Chứng minh: Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
Giả sử G thỏa deg(v) + deg(w) ≥ n; ∀v,w khơng liền kề trong G nhưng G khơng cĩ chu trình Hamilton. Khi đĩ ta cĩ thể ghép thêm vào G những cạnh cho đến khi nhận được một đồ thị con H của Kn sao cho H khơng cĩ chu trình Hamilton, nhưng với mọi cạnh e ∈ Kn nhưng e ∉ H, ta cĩ (H + e) cĩ chu trình Hamilton. Việc ghép thêm cạnh vào G là hồn tồn thực hiện được và khơng ảnh hưởng gì đến điều kiện của giả thiết.
Do H ≠ Kn nên tồn tại a, b ∈ V sao cho ab ∉ H nhưng H + ab cĩ chu trình Hamilton C. Bản thân H khơng cĩ chu trình Hamilton mà H + ab cĩ chu trình Hamilton ⇒ ab ∈ C. Giả sử ta liệt kê các đỉnh của H trong chu trình C như sau:
a(=v1) → b(=v2) → v3 → v4 → ... → vn-1 → vn; 3 ≤ i ≤ n.
Khi đĩ, nếu cạnh bvi ∈ H, ta cĩ thể kết luận avi-1 ∉ H vì nếu cả hai bvi và avi-1 cùng nằm trong H, ta cĩ chu trình:
b → vi → vi+1 → ... → vn-1 → vn → a → vi-1 → vi-2 → ... → v3
Chu trình này nằm trong H, điều này mâu thuẫn vì H khơng cĩ chu trình Hamilton. Vì vậy, ∀vi (3 ≤ i ≤ n) chỉ cĩ một trong 2 cạnh: bvi hoặc avi-1 nằm trong H.
Do đĩ: degH(a) + degH(b) < n. Với degH(a): bậc của a trong H.
Ta cĩ ∀ v ∈ V: degH(v) ≥ degG(v) = deg(v) (vì G là đồ thị con của H) ⇒ với cặp đỉnh khơng liền kề trong G: a, b ta cĩ: deg(a) + deg(b) < n.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết: deg(v) + deg(w) ≥ n; ∀ v, w khơng liền kề. Vậy, G cĩ chứa chu trình Hamilton.
ØHệ quả: (Định lý Dirac, 1952)
Nếu đơn đồ thị G = (V,E) cĩ n đỉnh (n ≥ 3) và deg(v) > 2
n
; ∀ v ∈ V thì G cĩ chu trình Hamilton.