phức
Định lý 3.8.2. Nếu z và t là các số nguyên phức khác 0 thì tồn tại số nguyên phức c và r
sao cho z =ct+r và N(r)≤ 1 2N(t). Chứng minh. Ta có thể viết z
t = x+yi trong đó x, y là các số hữu tỉ. Gọi α và β là các
số nguyên gần x, y nhất. Đặt x1 = x−α và y1 = y−β. Khi đó x1, y1 là các số hữu tỉ và
|x1|,|y1| ≤ 1
2. Ta chọnc=α+βi, r =z−ct= (x1+y1i). Không khó khăn để kiểm tra các số này thỏa mãn các điều kiện của định lý.
Từ định lý này ta có thuật toán Euclid tìm được dãy các số nguyên phức r0, r1, ... sao cho các số ti là các số nguyên phức thỏa mãn: r0=t, r1 =r ri =tiri+1+ri+2 với mọi i= 0,1,2, .. N(ri+1)< N(ri) Dãy này còn tiếp tục chừng nào ri còn khác0.
Nhưng chú ý rằng dãy chuẩn N(ri) là dãy các số tự nhiên giảm dần nên dãy ri không thể kéo dài vô hạn. Do đó bắt buộc phải tồn tại số nguyênn sao chorn−2 =tn−2rn−1 hay có thể qui ước rằngrn = 0. Dễ dàng nhận thấy từ kết quả nàyrn−1 sẽ là số cùng chia hết z và t
hơn nữa nó chia hết cho mọi ước số chung của hai số này. Như vậy ta có hệ quả (định nghĩa):
Hệ quả 3.8.1. Với hai số nguyên phức khác 0cho trước thì có ít nhất một ước số chung chia hết cho mọi ước số chung khác của hai số đấy. Các ước số chung như vậy được gọi là các ước số chung lớn nhất của hai số này.
Từ đây ta cũng có khái niệmuớc chung lớn nhất cho nhiều số vàcác số nguyên phức nguyên tố cùng nhau . Các số nguyên phức được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng không có ước chung nào khác ±1,±i.
Một định lý rất quan trọng khi nghiên cứu vấn đề về ước số chung lớn nhất, là mở rộng của định lýBezoutcho các số nguyên.
Định lý 3.8.3. Hai số nguyên phức nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên phức x, y sao cho ax+by= 1.
Chứng minh. Chiều ngược lại là dễ dàng. Ta sẽ chứng minh chiều thuận. Giả sử(a, b) = 1. Ta gọi S là tập hợp các số có dạng az+bt trong đó z, t cũng là các số nguyên phức không đồng thời bằng 0.N(S)được kí hiệu là tập hợp các chuẩn của các phần tử trong S. Rõ ràng
luôn tồn tại phần tử nhỏ nhất trong N(S). Giả sử phần tử này bằngn. Khi đó tồn tạiα∈S
sao choN(α) =n.
Do α ∈ S nên luôn tồn tại z1, t1 là các số nguyên phức không đồng thời bằng 0 sao cho
α = az1 + bt1. Ta chứng minh mọi phần tử s ∈ S đều chia hết cho α. Thật vậy, với s=az+bt∈S ta viếts =cα+r trong đó N(r)< N(α).
Mặt khác r = a(z −cz1) +b(t −ct1) nên nếu r 6= 0 thì r ∈ S. Điều này mâu thuẫn với
cách chọn α vì N(r)< N(α).
Vậyr= 0 hay ta có nếus∈S thìs chia hết cho α.
Vì a, b ∈ S do đó a, b đều chia hết cho s. Vì (a, b) = 1 nên suy ra N(s) = 1. Không giảm tổng quát ta có thể giả sử s= 1. Khi đó sẽ tồn tại x=z1;y=z2 là các số nguyên phức không đồng thời bằng 0 sao cho ax+by = 1. Định lý được chứng minh.
3.8. SỐ NGUYÊN PHỨC 43
Hệ quả 3.8.2. Với bất kỳ các số nguyên phức a, b, c sao cho (a, b) = 1 và b|ac thì b|c.
Hệ quả 3.8.3. Nếu (a, b) = 1 và (a, c) = 1 thì (a, bc) = 1.