I -CÁC DẤU HỆU NHẬN BẾT TỨ GÁC NỘ TẾP
a,Do CE làtiếp tuyến của (O) nờn: = (Cựng chắn )
∆CEM ~ ∆CNE .
=
CM.CN =CE2
Mặt Khỏc , do CE; CF là cỏc tiếp tuyến của (O) nờn
AB⊥ EF tại I vỡ vậy trong tam giỏc vuụng CEO đường cao EI ta cú: CE2 = CI.CO
Từ (1) và (2) suy ra CM.CN = CI.CO => = ∆CMI ~ ∆CON
=
Tứ giỏc OIMN nội tiếp
b Kộo dài NI cắt đường trũn tại M’. Do tứ giỏc IONM nội tiếp nờn : = = sđ
=> = . Do đú: = =
Vớ Dụ 2
Cho tam giỏc ABC cú = 450 ; BC =a nội tiếp trong đường trũn tõm O; cỏc đường cao BB’ và CC’. Gọi O’ là
điểm đối xứng của O qua đường thẳng B’C’. a. Chứng minh rằng A; B’; C’; O’ cựng thuộc
một đường trũn b. Tớnh B’C’ theo a.
a. Do O là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC nờn = 2 =900
Từ đú suy ra cỏc điểm O; B’; C’
Cựng thuộc đường trũn đường kớnh BC.Xột tứ giỏc nội tiếp CC’OB’ cú : = 1800 -
= 1800 - ( 900 - ) =1350.
Mà O’ đối xứng với O qua B’C’ nờn: = = 1350 =1800 -
Hay tứ giỏc AC’O’B’ nội tiếp.
b. Do = 450 nờn ∆BB’A vuụng cõn tại B’
Vỡ vậy B’ nằm trờn đường trung trực của đoạn AB hay B’O ⊥ AB C’OB’C là hỡnh thang cõn nờn B’C’ =OC
Mặt khỏc ∆BOC vuụng cõn nờn: B’C’ =OC =
22 2 2 2 a BC = III bài tập áp dụng Bài tập 1:
Cho tứ giỏc ABCD nội tiế đường trũn đường kớnh AD. Hai đường chộo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuụng gúc với AD. Chứng minh:
a/ Tứ giỏc EBEF, tứ giỏc DCEF nội tiếp. b/ CA là phõn giỏc của BCFã
c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giỏc BCMF nội tiếp.
Bài tập 2:
Tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn đường kớnh AD. Hai đường chộo AC, BD cắt nhau tại E. Hỡnh chiếu vuụng gúc của E trờn AD là F. Đường thẳng CF cắt đường trũn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:
a/ CEFD là tứ giỏc nội tiếp
b/ Tia FA là phõn giỏc của gúc BFM c/ BE.DN = EN.BD. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài tập 3:
Cho tam giỏc ABC vuụng ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường trũn đường kớnh BD cắt BC tại E. Cỏc đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường trũn tại cỏc điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
a/ Tam giỏc ABC đồng dạng với tam giỏc EBD
b/ Tứ giỏc ADEC và AFBC nội tiếp được một đường trũn c/ AC song song với FG
d/ Cỏc đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Cho tam giỏc ABC cú Aˆ 90= 0; AB > AC, và một điểm M nằm trờn đoạn AC ( M khụng trựng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đường trũn đường kớnh MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường trũn đường kớnh MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a/ Bốn điểm A, M, N, B cựng thuộc một đường trũn b/ CM là phõn giỏc của gúc BCS.
c/ TA TC TD = TB
Bài tập 5:
Cho đường trũn (O) và điểm A nằm ngoài đường trũn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường trũn ( M, N là cỏc tiếp điểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắt đường trũn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 điểm: O, L, M, A, N cựng thuộc một đường trũn b/ Chứng minh LA là phõn giỏc của gúc MLN
c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh: MA2= AI. AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng: KN // AQ e/ Chứng minh tam giỏc KLN cõn.
Bài tập 6:
Cho đường trũn (O;R) tiếp xỳc với đường thẳng d tại A. Trờn d lấy điểm H khụng trựng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với d, đường thẳng này cắt đường trũn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H )
a/ Chứng minh: gúc ABE bằng gúc EAH và tam giỏc AHB đồng dạng với tam giỏc EAH.
b/ Lấy điểm C trờn d sao cho H lỏ trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh: AHEK là tứ giỏc nội tiếp
c/ Xỏc định vị trớ của điểm H để AB = R 3
Bài tập 7:
Từ điểm P nằm ngoài đường trũn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường trũn (O) ( M, N là tiếp điểm ). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường trũn (O) tại hai điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh:
a/ Tứ giỏc PMON nội tiếp đường trũn
b/ Cỏc điểm P, N, O, H cựng nằm trờn một đường trũn c/ Tam giỏc PQO cõn
d/ MP2= PE. PF e/ =
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O). Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường trũn (O) lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
a/ Cỏc tứ giỏc AEHF, BFHD nội tiếp.
b/ Bốn điểm B, C, E, F cựng nằm trờn một đường trũn. c/ AE. AC = AH. AD và AD. BC = BE. AC
d/ H và M đối xứng nhau qua BC
e/ Xỏc định tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc DEF.
Bài tập 9:
Cho tam giỏc ABC khụng cõn, đường cao AH, nội tiếp trong đường trũn tõm O. Gọi E, F thứ tự là hỡnh chiếu của B, C lờn đường kớnh AD của đường trũn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a/ Bốn điểm A, B, H, E cựng nằm trờn một đường trũn tõm N và HE // CD. b/ M là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc HEF.
Bài tập 10:
Cho đường trũn (O) và điểm A ở bờn ngoài đường trũn. Vẽ cỏc tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến ADE với đường trũn ( B và C là cỏc tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của DE.
a/ CMR: A, B,H, O, C cựng thuộc một đường trũn. Xỏc định tõm của đường trũn này.
b/ Chứng minh: HA là tia phõn giỏc .
c/ Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2= AI.AH d/ BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.
Bài tập 11:
Từ một điểm S ở ngoài đường trũn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cỏt tuyến SCD của đường trũn đú.
a/ Gọi E là trung điểm của dõy CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cựng thuộc một đường trũn.
b/ Nếu SA = AO thỡ SAOB là hỡnh gỡ? Tại sao?. c/ CMR: AC.BD = BC.DA = .
2
AB CD
Bài tập 12:
Trờn đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự đú. Trờn nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cựng vuụng gúc với d. Trờn tia Ax lấy I. Tia vuụng gúc với CI tại C cắt By tại K. Đường trũn đường kớnh IC cắt IK tại P.
a/ Chứng minh tứ giỏc CBPK nội tiếp được đường trũn b/ Chứng minh: AI. BK = AC. CB
c/ Giả sử A, B, I cố định hóy xỏc định vị trớ điểm C sao cho diện tớch hỡnh thang vuụng ABKI lớn nhất.
Bài tập 13:
Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn (O). M là điểm di động trờn cung nhỏ BC. Trờn đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
a/ Chứng minh: VDMC đều b/ Chứng minh: MB + MC = MA
c/ Chứng minh tứ giỏc ADOC nội tiếp được.
d/ Khi M di động trờn cung nhỏ BC thỡ D di động trờn đường cố định nào?.
Bài tập 14:
Cho đường trũn (O;R), từ một điểm A trờn O kẻ tiếp tuyến d với O. Trờn đường thẳng d lấy điểm M bất kỳ ( M khỏc A ) kẻ cỏt tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp điểm ). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
a/ Chứng minh tứ giỏc AMBO nội tiếp
b/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cựng nằm trờn một đường trũn. c/ Chứng minh OI. OM = R2; OI. IM = IA2
d/ Chứng minh OAHB là hỡnh thoi
e/ chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
f/ Tỡm quỹ tớch của điểm H khi M di chuyển trờn đường thẳng d.
Bài tập 15:
Cho hỡnh thang cõn ABCD ( AB > CD; AB // CD ) nội tiếp trong đường trũn (O). Tiếp tuyến với đường trũn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chộo AC và BD. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a/ Chứng minh tứ giỏc AEDI nội tiếp. b/ Chứng minh AB // EI
c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bờn AD và BC của hỡnh thang tương ứng ở R và S. Chứng minh: * I là trung điểm của RS
* 1 1 2