Một số ký hiệu toán học

4. Các thuật toán kiểm tra số nguyên tố

4.1. Một số ký hiệu toán học

4.1.1. Ký hiệu Lagrăng (Legendre Symbol)

Ký hiệu L(a,p) đƣợc đi ̣nh nghi ̃a với a là một số nguyên và p là một số nguyên tố lớn hơn 2. Nó nhận ba giá trị 0, 1, -1 :

L(a,p) = 0 nếu a chia hết cho p.

L(a,p) = 1 nếu a  QN (a là thặng dƣ bậc 2 modulo p).

L(a,p) = -1 nếu a  QN (a không là thặng dƣ bậc 2 modulo p). Một phƣơng pháp dễ dàng để tính toán ra L(a,p) là :

4.1.2. Ký hiệu Jacobi (Jacobi Symbol)

Ký hiệu Jacobi đƣợc viết là J (a,n), nó là sự khái quát hoá của ký hiệu Lagrăng , nó đi ̣nh nghi ̃a cho bất kỳ cặp số nguyên a và n nào. Ký hiệu Jacobi là một chức năng trên tập hợp số thặng dƣ thấp của ƣớc số n và có thể tính toán theo công thƣ́c sau:

 Nếu n là số nguyên tố, thì J(a,n) = 1 nếu a là thặng dƣ bậc hai modulo n .

 Nếu n là số nguyên tố , thì J(a,n) = -1 nếu a không là thặng dƣ bậc hai modulo n .

 Nếu n khôn g phải là số nguyên tố thì Jacobi (a,n) sẽ đƣợc tính theo công thức sau:

 J(a,n)=J(h,p1)  J(h,p2) . . .  J(h,pm) với p1,p2. . .,pm là các thừa số lớn nhất của n.

Thuật toán này tính ra số Jacobi tuần hoàn theo công thƣ́c sau : 1. J(1,k) = 1

2. J(ab,k) = J(a,k)  J(b,k)

3. J(2,k) =1 Nếu (k2-1)/8 là chia hết và J(2,k) = -1 trong các trƣờng hợp khác. 4. J(b,a) = J((b mod a),a)

5. Nếu GCD(a,b)=1 :

a. J(a,b)  J(b,a) = 1 nếu (a-1)(b-1)/4 là chia hết. b. J(a,b)  J(b,a) = -1 nếu (a-1)(b-1)/4 là còn dƣ. Sau đây là thuật toán trong ngôn ngƣ̃ C :

int jacobi(int a,int b) { int a1,a2; if(a>=b) a%=b; if(a==0) return 0; if(a==1) return 1; if(a==2) if(((b*b-1)/8)%2==0) return 1; else return -1;

if(a&b&1) (cả a và b đều là số dƣ) if(((a-1)*(b-1)/4)%2==0) return +jacobi(b,a); else return -jacobi(b,a); if(gcd(a,b)==1) if(((a-1)*(b-1)/4)%2==0) return +jacobi(b,a); else return -jacobi(b,a);

return jacobi(a1,b) * jacobi(a2,b); }

Trên thƣ̣c tế có thể tính đƣợc ký hiệu Jacobi một cách thuận lợi hơn nếu dƣ̣a vào 1 trong các tính chất sau, giả sử m, n là các số nguyên lẻ, a, b  Z:

(i) J(a*b, n) = J(a, n) * J(b, n) do đó J(a2, n) = 1. (ii) J(a, m*n) = J(a, m) * J(a, n).

(iii) nếu a  b (mod n) thì J(a, n) = J(b, n). (iv) J(1, n) = 1.

(v) J(-1, n) = (-1)(n-1)/2

(vi) J(m, n) = J(n, m) * (-1)(m-1)*(n-1)/4