Tam giác Pascal

/ i goi tin chi chuyen tren kenh 1 voi chi phi c[i][1] p[0] = 0; chuyen 0 goi tin tren kenh

5.8 Tam giác Pascal

Tam giác Pascal bậc n là một bảng gồm n dòng, dòng thứ i là một dãy gồm i+1 số tự nhiên được xây dựng như sau.

Dòng i = 1 chứa hai số 1, 1.

Gọi x = (x1, x2, ..., xi+1) là dòng thứ i, thì dòng thứ i+1, y = (y1, y2, ..., yi+2) được xây dựng như sau: y1 = yi+2 = 1,

yj = xj-1+xj , j = 2, 3, ..., i+1.

Các phần tử của dãy được gọi là hệ số. Hai phần tử đầu và cuối của mỗi dãy luôn luôn mang giá trị 1 và được gọi là hai hệ số ngoài. Các phần tử còn lại được gọi là các hệ số trong.

Blaise Pascal

Nhà vật lý học, toán học và triết gia người Pháp. Ông được tiếp thu nền giáo dục từ người cha. Ngay từ thời trẻ Pascal đã nổi tiếng là thần đồng. Các tác phẩm đầu tiên của Pascal là về tự nhiên và các khoa học ứng dụng, nơi ông đã có những đóng góp quan trọng vào việc xây dựng một máy tính cơ khí, các nghiên cứu về chất lỏng, trình bày các khái niệm về áp suất và chân không bằng việc khái quát tác phẩm của Evangelista Torricelli.

Pascal là một trong những người đặt nền móng cho hai lĩnh vực nghiên cứu mới của toán học. Ông đã viết một luận án quan trọng về hình học xạ ảnh ở độ tuổi 16. Cùng với Pierre de Fermat xây dựng lý thuyết xác suất. Đây là công trình có ảnh hưởng lớn tới sự phát triển của kinh tế học hiện đại và các khoa học xã hội.

Sau đó ông dành tâm sức vào triết học và thần học với hai tác phẩm nổi tiếng trong thời kỳ đó.

Nguồn: Wikipedia

Tam giác Pascal (PT – Pascal's Triangle ) có nhiều ứng dụng nổi tiếng. Dòng thứ n trong PT chính là các hệ số trong dạng khai triển của đa thức (a+b)n. Định lý sau đây cho ta một dấu hiệu nhận biết số nguyên tố dựa trên PT.

Định lý: n là số nguyên tố khi và chỉ khi mọi hệ số trong của dòng n trong tam giác Pascal chia hết cho n. Chúng ta thử giải hai bài toán sau đây liên quan đến tam giác Pascal.

PT1: Với mỗi số tự nhiên n hãy tính các hệ số của tam giác Pascal và tổng của chúng. PT2: Kí hiệu a(i,n) là hệ số thứ i trên dòng thứ n của m giác Pascal. Hãy tính tổng

(n) = sum { a(i, i/2+1) | i = 1..n } = a(1,1) + a(2,2) + a(3,2)+ ... + a(i, i/2+1) + ... + a(n, n/2+1) trong dó x/y cho ta phần nguyên của thương trong phép chia số tự nhiên x cho số tự nhiên y. Giới hạn của n là 1  n  20.

Thí dụ, với n = 6 ta có

PT1: Dòng 6 của tam giác Pascal: (1, 6, 15, 20, 15, 1); Tổng là: 64.

PT2: (6) = 1 + 2 + 3 + 6 + 10 + 20 = 42 (các số gạch dưới trong bảng). n Ứng dụng 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 . . . Dòng 4:

(a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4.

Dòng 5: Mọi hệ số trong chia hết cho 5, vậy n = 5 nguyên tố.

Dòng 6: Hệ số 15 không chia hết cho 6, vậy 6 không phải nguyên tố.

Thuật toán

Blaise Pascal

Hệ số thứ i trên dòng n, p(n, i) của PT chính là tổ hợp chặp i1 của n phần tử do đó được tính theo công thức:

p(n,i) = Cni1 = n!/(i1)!(ni+1)! = (ni+2)...n/(i1)!, i = 1.. n+1. Ta qui ước 0! = 1, do đó

p(n, 1) = p(n, n+1) = Cn0 = Cnn = 1 Biết p(n, i) ta tính được p(n, i+1) theo công thức sau:

p(n, i+1) = p(n, i).(ni+1)/i (*)

Ta khởi trị a[1] = 1 ứng với p(n, 1). Ngoài ra ta sử dụng hai biến phụ tu và mau với giá trị khởi đầu là tu = n, mau = 1. Sau đó, với mỗi i = 2..n+1 ta tính p(n, i) = a[i] = a[i-1]*tu/mau và giảm tu, tăng mau 1 đơn vị. Thủ tục PT dưới đây tính và hiển thị dòng thứ n trong tam giác Pascal:

(* Passcal *)

procedure PT(n: integer); var x: longint;