TOÁN CHỨA THAM SỐ
Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm hai đồ thị của hai hàm số
và cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
1) Lập bảng biến thiên của hàm số .
2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số .
Chú ý : Nếu hàm số liên tục trên D và , thì phương trình : có nghiệm
Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
Giải:
1)Xét hàm số có tập xác định là D=R.
Ta có:
thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình vô nghiệm không đổi dấu trên R, mà
đồng biến.
Mặt khác: và .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm . 2) ĐK:
Xét hàm số với
Ta có: .
vô nghiệm không đổi dấu trên D, mà
Mặt khác:
phương trình có nghiệm .
Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.
Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: .
Giải:
Xét hàm số với
Ta có: .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm .
2) Điều kiện: . Khi đó phương trình (Vì ) Xét hàm số với . Ta có: . Do .
Vậy f(x) là hàm đồng biến trên [0;4] Suy ra phương trình có nghiệm
Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.
Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
Giải:
Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này
Ta có: . Hệ có nghiệm có nghiệm . với có . Vậy hệ có nghiệm . Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm: Giải:
Ta có: .
* Nếu vô nghiệm.
* Nếu đúng
có nghiệm
Suy ra hệ có nghiệm có nghiệm
Ta có: . Xét hàm số f(x) với , có:
.
Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm .
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: .
Giải:
Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước
Ta có: . Thay vào (1) ta được:
(3). Hệ có nghiệm có nghiệm . Xét hàm số f(y) với
đồng biến trên các khoảng và
Suy ra hệ có nghiệm .
Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số
và . Do đó phương trình có k nghiệm hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm.
Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:
Giải: Đặt . Ta có phương trình : . Xét hàm số . Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 7: Tìm m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt.
Giải:
Phương trình (do )
Xét hàm số
.
Dựa vào bảng biến thiên .
Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : có đúng một
nghiệm .
Giải:
Ta thấy để pt có nghiệm thì . Khi đó:
Phương trình .
Xét hàm số : với
Ta có: với nghịch biến.
Mà: và
Vậy phương trình có đúng một nghiệm .
Ví dụ 9: Tìm m để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt .
Giải:
Ta có : (do x=0 không là nghiệm
phương trình ).
Thay vào phương trình thứ nhất ta được: (a) .
Hệ có ba cặp nghiệm (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Xét hàm số với .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt
.
Vậy là những giá trị cần tìm.
Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:
* Khi đặt , ta tìm được và phương trình (1) trở thành
(2). Khi đó (1) có nghiệm (2) có nghiệm .
* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm ).
* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị thì phương trình có bao nhiêu nghiệm ?.
Ví dụ 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm. . . . Giải: 1) Điều kiện: . Phương trình Đặt Ta có phương trình : (1).
Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm
Xét hàm số với , có .
Vậy phương trình có nghiệm .
2) Điều kiện: Đặt
Phương trình đã cho trở thành: (2).
Xét hàm số
. Dựa vào bảng biến thiên của
Xét hàm số với , có Suy ra là hàm đồng biến trên
Vậy phương trình có nghiệm .
3) Điều kiện : .
Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho
, ta được: ( * ).
Đặt
Khi đó ( * ) trở thành: (3).
Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm .
Xét hàm số f(t) với , có: .
.
Vậy phương trình có nghiệm .
Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của t .Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t. Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn:
Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t :
. Ở câu 3 để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:
vì . Ví dụ 11: Tìm m để các phương trình có nghiệm . có nghiệm trên . Giải: 1) Đặt và . Phương trình đã cho trở thành: (3) ( vì ).
Phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm t thỏa mãn .
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm .
2) Đặt . Với .
Phương trình đã cho trở thành:
Phương trình đã cho có nghiệm trên có nghiệm
Xét hàm số với , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên [1;2]
Suy ra .
Vậy phương trình có nghiệm
Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt
Giải: Điều kiện : .
(Do ).
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt .
Đặt và (2) trở thành
Từ cách đặt ta có: Với mỗi giá trị thì cho ta đúng một giá trị . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt
.
Xét hàm số với
Suy ra (3) có 2 nghiệm phân biệt