pact
Bài tập 3.1. Cho X = X1 ⊕ X2, A ∈ L(H) sao cho A(X1) ⊂ X2 và
A(X2) ⊂ X1. Chứng minh nếu λ là giá trị riêng của A thì −λ cũng là giá trị riêng của A.
Chứng minh. Vìλlà giá trị riêng củaAnên tồn tại x 6= 0sao choAx= λx. Khi đó, x = x1 + x2, trong đó x1 ∈ X1, x2 ∈ X2. Ta có A(x1 + x2) =
λ(x1 +x2), hay Ax1 −λx2 = Ax2 −λx1. Theo giả thiết thì Ax1 −λx2 =
Ax2 −λx1 = 0 ∈ X1 ∩X2.
Đặt y = x1 −x218. Ta có y 6= 0, vì nếu ngược lại thì x1 = x2 = 0, tức là
x = 0, vô lý. Lúc đó, A(y) = A(x1 −x2) = −λy, và do đó −λ cũng là giá trị riêng của A.
Bài tập 3.2. Cho H là không gian Hilbert , A ∈ L(H), A= A∗, λ ∈ C. 1. Nếu H 6= R(Aλ) thì λ là giá trị riêng của A.
2. Nếu H = R(Aλ) và H 6= R(Aλ) thì λ ∈ σ(A) nhưng không phải là giá trị riêng của A.
3. Nếu H = R(Aλ) thì λ là giá trị chính quy của A. Chứng minh. Ta có H = N(Aλ∗)⊕R(Aλ).
1. Nếu H 6= R(Aλ) thì Aλ không là toàn ánh, do đó không song ánh. Suy ra λ ∈ σ(A).
Vì A = A∗ nên λ ∈ R. Ta có (A− λI)∗ = A∗ −λI∗ = A −λI. Từ
H 6= R(Aλ) ta có N(Aλ) =N(A∗λ) 6= {0}. Vậy λ là giá trị riêng. 2. Vì H 6= R(Aλ) nên Aλ không khả nghịch nên λ ∈ σ(A), và kết hợp
với A = A∗ ta có λ ∈ R.
H = R(Aλ) nên N(A∗λ) ={0}= N(Aλ). Vậy λ ∈ σ(A) nhưng không là giá trị riêng của A.
3. A = A∗ nên σ(A) ⊂ R. Do đó, nếu λ ∈ C\R thì λ là giá trị chính quy. Xét λ ∈ R. Vì H = R(Aλ) nên Aλ là toàn ánh. Mặt khác,
N(A∗λ) = {0} = N(Aλ) nên Aλ là đơn ánh. Vậy Aλ là song ánh, tức là λ là giá trị chính quy.