Để tỡm n chữ số tận cựng của 1 luỹ thừa , ta tỡm dư của luỹ thừa đú với 10^n Heheh , cú phải rất hay khụng nào .
Tuy nhiờn . Nếu người ta kiu tỡm từ 1 đến 3 chữ số tận cựng của một luỹ thừa mà ta làm theo bài học trờn thỡ thật là , quỏ oải . Chớnh vỡ thế , tui xin post một bài như sau :
_ Tỡm 1 chữ số tận cựng của :
* Nếu a cú chữ số tận cựng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thỡ lần lượt cú chữ số tận cựng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 . * Nếu a cú chữ số tận cựng là 2 , 3 hoặc 7 , ta cú nhận xột sau với k thuộc tập hợp số tự nhiờn khỏc 0 : 2^4k đồng dư 6 ( mod 10 )
3^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) 7^4k đồng dư 1 ( mod 10 )
Do đú để tỡm 1 chữ số tận cựng của a^n với a cú số tận cựng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 }
Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thỡ a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thỡ a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 )
_ Tỡm 2 chữ số tận cựng của a^n Ta cú nhận xột sau : 2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 3^20 đồng dư 1 ( mod 100 ) 6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 7^4 đồng dư 01 ( mod 100 )
Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1 và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2
Suy ra kết quả sau với k là cỏc số tự nhiờn khỏc 0 :
a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )
a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )
a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) Vậy tỳm lại , để tỡm 2 chữ số tận cựng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20 _ Ta cú :
a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )
a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )
a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )
Tỳm lại , để tỡm 3 chữ số tận cựng của 1 luỹ thừa , ta tỡm 2 chữ số tận cựng của số mũ . Nhưng dự sao đi chăng nữa thỡ cỏi nguyờn tắc
Để tỡm n chữ số tận cựng của a^b thỡ ta tỡm số dư của a^b với 10^n IX: Một bài toỏn tỡm hệ số:
TQ:
Tổng cỏc hệ số trong khai triển là (đề nghị cỏc bạn chứng minh- đề thi
APMO)
Do đú xột một bài toỏn cụ thể sau: Tỡm tổng cỏc hệ số của
Lời giải (kinhbac_edu):
Đặt thỡ khai triển được
Khi đú tổng cỏc hệ số bằng