Chúng ta đã biết rằng bất kỳ số nguyên phứcz nào không liên kết với1cũng có ít nhất 8ước số là1,−1, i,−i, z,−z, iz,−iz. Từ đây người ta định nghĩa một số nguyên phức làsố nguyên phức nguyên tốnếu nó có đúng 8 ước số phân biệt.
Điều này tương đương với khẳng định một số nguyên phức là số nguyên phức nguyên tố nếu nó có chuẩn lớn hơn 1và không biểu diễn được thành tích của hai số phức có chuẩn lớn hơn 1. Như vậy các số phức liên kết và liên hợp với một số phức nguyên tố cũng là các số phức nguyên tố.
Như vậy số nguyên phức nguyên tố là mở rộng của khái niệm số nguyên tố trong Z. Vấn đề bây giờ được đặt ra (tương tự như trong Z) là phân tích một số nguyên phức thành tích các số nguyên phức nguyên tố. Dễ thấy rằng các số nguyên phức nguyên tố chỉ có một cách phân tích duy nhất (là chính nó). Vậy thì với các số nguyên phức trong trường hợp tổng quát thì sao. Ta có định lý sau:
Định lý 3.8.4. Bất kỳ một số nguyên phức nào có chuẩn lớn hơn 1cũng là tích của hữu hạn các số nguyên phức nguyên tố.
Chứng minh. Ta dùng phản chứng để chứng minh định lý này.
Gọi M là tập hợp các số có chuẩn lớn hơn1nhưng không phân tích được thành tích của hữu hạn các số nguyên phức nguyên tố và N là tập hợp các chuẩn của các số phức trong M. Nếu
M khác rỗng, suy ra N khác rỗng. Do N là tập các số nguyên dương nên luôn tồn tại phần tử nhỏ nhất. Ta gọi phần tử này làm. Khi đó tồn tại số phức z ∈M sao cho N(z) =m.
Hiển nhiên z không là số nguyên tố và N(z) = m >1. Do đó theo định nghĩa về số nguyên tố ta suy ra tồn tại các số nguyên phức u, v sao cho u, v 6∈ {1,−1, i,−i, z,−z, iz,−iz} thỏa mãn z = uv. Khi đó N(u)N(v) = N(z) = m. Do u và v khác tám giá trị nêu trên nên
N(u), N(v)>1 =⇒1< N(u), N(v)< m.
Theo cách chọn m ta có u, v 6∈ M. Mà u, v có chuẩn lớn hơn 1 nên chúng phân tích được thành tích hữu hạn các số nguyên phức nguyên tố. Từ đó z cũng phân tích được thành tích hữu hạn các số phức nguyên tố. Mâu thuẫn với cách chọn z. Vậy giả sử của ta là sai hay M
phải là tập rỗng. Do vậy ta có điều phải chứng minh.
Các bạn có thể chứng minh được rằng nếu ta quy ước các cách phân tích một số nguyên phức thành các nhân tử nguyên tố là giống nhau nếu tập các chuẩn của nó không thay đổi thì mỗi số nguyên phức có chuẩn lớn hơn 1 đều phân tích được duy nhất thành tích các số nguyên phức nguyên tố.
Định lý 3.8.4 và chú ý ở trên là rất quan trọng. Nó đem lại cho số nguyên phức các tính chất gần gũi với số nguyên trong dạng phân tích thành tích các số phức nguyên tố. Có thể khám phá nhiều tính chất tương tự với những tính chất quen thuộc trong Z. Chẳng hạn:
Định lý 3.8.5. Cho các số nguyên phứcz1, z2, ..., znđôi một nguyên tố cùng nhau và có tích là lũy thừa cấp n của một số nguyên phức. Khi đó mỗi số zi cũng là lũy thừa của một số nguyên phức.
Lý thuyết về các số nguyên phức còn rất nhiều điều thú vị, những nghiên cứu chi tiết và sâu sắc hơn chúng ta sẽ còn quay trở lại trong một bài viết khác. Bây giờ, với những hiểu biết ban đầu trên đây, chúng ta thử vận dụng để giải một số bài toán tương đối quen thuộc.