Ví dụ 9.1. Khảo sát sự hội tụ của dãy(un)được xác định bởi công thứcu0=1và
un+1= un
u2
n+1 với mọin=0,1,2, . . .
Lời giải.Trước hết, một phép quy nạp đơn giản cho thấy rằng với mọinthuộcN,un
thuộc[0,+∞).
Với mọinthuộcN,un+1−un=− u 3
n
u2
n+1 ≤0,vậy(un)giảm.
Vì(un)giảm và bị chặn dưới bởi0nên nó hội tụ đến một số thựcLvàL≥0.Chuyển qua giới hạn khin tiến tới+∞,ta cóL= L
L2+1, từ đó L=0.Cuối cùng ta được
un→0.
Ví dụ 9.2. Khảo sát sự hội tụ của dãy(un)được xác định bởi công thứcu0>0và
un+1=1 2 un+a 2 un
với mọin∈N,trong đóalà một hằng số dương cho trước.
Lời giải.Trước hết, một phép quy nạp đơn giản cho thấy với mọinthuộcN,untồn
tại và thuộc(0,+∞).
Điểm bất động duy nhất thuộc(0,+∞)của hàm số f(x) =1
2 un+a 2 un làx=a.
Với mọinthuộcN,un+1−a=u
2n+a2−2aun n+a2−2aun 2un =(un−a) 2 2un ≥0.
Với mọinthuộcN∗,un+1−un=a
2−u2n
2un
≤0.
Vậy(un)giảm và bị chặn dưới bởianên hội tụ đến một số thựcLthuộc[L,+∞),số thực đó chỉ có thể làatheo lời giải của f(x) =x.Cuối cùngun→a.
Ví dụ 9.3. Khảo sát sự hội tụ của dãy(un)được xác định bởi công thứcu0>0và
un+1=u
2
n+8
6 với mọin∈N.
Lời giải.Phép quy nạp đơn giản chứng tỏ rằng với mọinthuộcN,un>0.
Phép giải phương trình f(x) =xvớix thuộcR+ cho thấy f có hai điểm bất động là2và4.Khảo sát hàm số f(x),ta thấy f tăng trên(0, +∞)và các khoảng đóng
Vì f tăng, (un) đơn điệu nên chiều biến thiên phụ thuộc vào dấu củau1−u0. Vì
f(x)−x=(x−2)(x−4)
6 , nên dấu củau1−u0phụ thuộc vào vị trí tương đối củau0 so với2và4.
+Trường hợp 1.u0thuộc[0,2].Ở đâyu1≥u0, vậy bằng một phép quy nạp đơn giản ta có với mọinthuộc N,un+1≥un. Hơn nữa, với mọin thuộcN,unthuộc [0, 2]. Vậy(un)tăng và bị chặn trên bởi2,nên hội tụ đến số thựcLthuộc[0,2].Ta đã thấy
Lthuộc{2,4}.VậyL=2.
+Trường hợp 2.u0 thuộc [2, 4).Bằng cách tương tự ta thấy rằng(un) giảm và bị chặn dưới bởi2nên hội tụ đến một số thựcLthuộc[2,u0]thuộc[2,4).Ta đã biếtL
thuộc{2,4},vậyL=2.
+Trường hợp 3.u0=4. Dãy(un)không đổi và bằng4,hội tụ đến4.
+Trường hợp 4.u0thuộc(4,+∞).Ở đây(un)tăng. Nếu(un)hội tụ đến một số thực
Lthì ta cóL≥u0>4,mâu thuẫn vớiLthuộc{2,4}.Do đó(un)tăng và phân kỳ, vậyun→+∞.
Ta nói rằng2làđiểm bất động hútvà4làđiểm bất động đẩycủa f.
Ví dụ 9.4. Khảo sát sự hội tụ của dãy(un)được xác định bởi công thứcu0=1và
un+1= 1
2+un với mọin=0,1,2, . . .
Lời giải.Phép quy nạp đơn giản cho thấy rằng với mọinthuộcN,un>0.
Cho f :R+→R+,x→ 1
2+x. Phép giải phương trình f(x) =x(vớix>0) cho thấy có một và chỉ một điểm bất động, ký hiệu làAvàA=√2−1.
Với mọinthuộcN,ta có
|un+1−A|= 1 2+un − 1 2+A = |un−A| (2+un)(2+A) ≤ 1 4|un−A|.
Bằng một phép quy nạp đơn giản, ta suy ra với mọinthuộcN,|un−A| ≤ 1
4n|u0−A|. Vậyun→A.
Ở đây không cần khảo sát các dãy con với chỉ số chẵn và chỉ số lẻ.
Ví dụ 9.5. Khảo sát sự hội tụ của dãy(un)được xác định bởi công thứcu0≥0và
un+1= 2
1+u2
n
Lời giải.Một phép quy nạp đơn giản chỉ ra rằngun≥0với mọintự nhiên. Xét f :[0, +∞)→[0, +∞), f(x) = 2
1+x2 là một hàm liên tục. Ta có với mọi x
thuộc[0,+∞),phương trình f(x) =xchỉ có một nghiệm duy nhất làx=1.Vậy nếu
unhội tụ thì chỉ có thể hội tụ đến1.
Ánh xạ f khả vi trên[0,+∞), f0(x) =− 4x
(1+x2)2 ≤0với mọixthuộc[0,+∞),vậy
f giảm. Vì f0(1) =−1,ta không thể lập luận như trong ví dụ 4.
Ta sẽ chứng minh rằngu2p→1vàu2p+1→1.Chog= f◦f :[0,+∞)→[0,+∞), g(x) = 2(1+x 2)2 (1+x2)2+4.Ta tính g(x)−x=−(x−1) 3(x2+x+2) (1+x2)2+4 .
+Trường hợp 1.u0thuộc[0,1].Khi ấy với mọi pthuộcN,u2pthuộc[0,1]vàu2p+1
thuộc[1,+∞).Vậy, với mọipthuộcN,
u2p+2−u2p=g(u2p)−u2p≥0, u2p+3−u2p+1=g(u2p+1)−u2p+1≤0. Do đó(u2p)và(u2p+1)giảm. Hơn nữa, vì với mọipthuộcN,u2p≤1≤u2p+1, nên ta suy ra rằng(u2p)hội tụ đến một phần tửLthuộc[0,+∞)và(u2p+1)hội tụ đến một phần tửL0thuộc[0,+∞).Vìgliên tục trên[0,+∞)và vìx=1là nghiệm thuộc
[0,+∞)duy nhất của phương trình g(x) =x,nên ta suy raL=L0=1.Cuối cùng
un→1.
+Trường hợp 2.u0thuộc[1,+∞). Vìu1= f(u0)thuộc[0,1],ta quy về trường hợp trên (bằng cách thayu0bởiu1) và ta có cùng một kết luậnun→1.
Bài tập
1. Khảo sát sự hội tụ của các dãy sau (a)u0=1vàun+1=1− 2 un với mọin∈N. (b)u0>0vàun+1= 3+u 2 n 2(un+1) với mọin∈N.
(c)u0tùy ý vàun+1=u2n+2unvới mọin∈N. 2. Khảo sát dãy(un)được xác định bởi
u0≥0, un+1= 6
2+u2
n
3. Khảo sát các dãy(un),(vn)được xác định bởi