V. Các tốn tử đặc biệt thường dùng trong vật lý
b/ Sự cong ắn Lorentz
7.2.1 Dao động của một quả nặng treo ở đầu một lị xo
Giả sử cĩ một lị xo, một đầu được cố định cịn đầu kia treo một quả nặng khối lượng m (hình 7.1). Gọi lo là chiều dài của lị xo khi khơng bị biến dạng và l là chiều dài của nĩ khi biến dạng (bị nén hoặc kéo). Khi lị xo biến dạng thì xuất hiện lực đàn hồi Fr cĩ xu hướng kéo nĩ về vị trí cân bằng (khơng biến dạng).
Nếu độ biến dạng x = l – lo nhỏ thì lực đàn hồi Fr tỉ lệ với độ biến dạng x, tức là :
Fr =−kxr (định luật Hooke) k gọi là hệ số đàn hồi.
Khi đĩ phương trình chuyển động của vật sẽ là :
Cần chú ý rằng khi dẫn ra phương trình trên chúng ta chưa kể đến tác dụng của trọng lực của vật. Tuy nhiên cĩ thể thấy rằng trọng lực khơng làm thay đổi dạng của phương trình dao động (7.12). Thật vậy, nếu ta ký hiệu X là độ giãn của lị xo, tức là X = l – lo thì khi đĩ phương trình chuyển động của hệ (gồm lị xo và quả nặng) là :
m
Hình 7.1
Gọi Xo là độ giãn của lị xo ở vị trí cân bằng (tức là độ dài của lị xo khi treo quả nặng m) thì khi đĩ ta cĩ :
-kX0 + mg = 0
Hay mg = kX0 thay giá trị này của mg vào phương trình chuyển động của hệ ta cĩ phương trình :
mX&& = −k(X−X0)
Nếu ta đưa vào ký hiệu x = X – Xo thì phương trình chuyển động của hệ lại trở về dạng (7.12).
Trở lại phương trình (7.12), nếu ta đặt k = mω2thì (7.12) trở thành : x&&−ω2x = 0
Nghiệm của (7.13) như đã biết cĩ dạng (7.3). Vậy quả nặng treo ở đầu lị xo sẽ thực hiện một dao động điều hồ :
x = a.sin(ωt-ϕ)
Trong đĩ tần số gĩc ω xác định bởi biểu thức :
m k
= ω
Cịn chu kỳ của dao động theo (7.4) :
k m T = π ω π = 2 2
Biên độ cực đại a và pha ban đầu ϕ được xác định từ những điều kiện ban đầu.