H A bao g m các tính ch t {A1, A2, A3} c a ph thu c hàm đệ ồ ấ ủ ụ ộ ược g i là h tiênọ ệ đ Armstrong c a l p các ph thu c hàm. ề ủ ớ ụ ộ
Các tính ch t còn l i ({A4, A5, A6, A7}) đ u đấ ạ ề ược suy ra t h tiên đ Armstrong.ừ ệ ề
Ch ng minh tính ch t A4.ứ ấ X → Y theo tính m r ng hai vở ộ ế XZ → YZ Và YZ → W Theo tính b c c uắ ầ XZ → W
• Phép suy d n theo h tiên đ Armstrongẫ ệ ề
PTH f được suy dân theo h tiên đ Armstrong là đệ ề ược ch ng minh thông qua tiên đứ ề Armstrong. Ký hi u F |= f.ệ
• Phép suy d n theo quan hẫ ệ
PTH f suy d n đẫ ượ ừ ậc t t p PTH F theo quan h (ho c PTH f đệ ặ ược suy d n theo quanẫ h t t p PTH F) ký hi u F |- f, n u v i m i quan h r trên lệ ừ ậ ệ ế ớ ọ ệ ược đ R mà F thõa mãnồ quan h đó thì f cũng th a mãn r.ệ ỏ
• Đ nh lý 2.1ị :
Cho t p PTH F và m t PTH f trên R khi đó ta có ậ ộ F |- f khi và ch khi F |= f.ỉ
Ch ng minh đ nh lý 2.1:ứ ị
1. F |= f, thì f là m t PTH trên R, đi u này có nghĩa là f th a mãn m i r thu c R.ộ ề ỏ ọ ộ 2. F |- f, thì F |= f. Đi u này tề ương đương vi c f không suy d n đệ ẫ ượ ừc t PTH F
theo h tiên đ Armstrong thì cũng không suy d n đệ ề ẫ ược theo quan h .ệ
Đ nh lý 2.2:ị H tiên đ Armstrong là đúng đ n và đ y đệ ề ắ ầ ủ Ch ng minh:ứ 1. Tính đúng đ n c a h tiên đ Armstrong:ắ ủ ệ ề Tính đúng đ n c a A1, A2, A3ắ ủ B đ 2.1ổ ề : Gi s X ả ử ⊆ R, n u g i X+ là t p các thu c tính A c a R mà F |= X → A thì v i m iế ọ ậ ộ ủ ớ ọ t p Y ậ ⊆ R, F |= X → Y ⇔ Y ⊆ X +.
ạ Ch ng minh chi u thu nứ ề ậ
Ta có F |= X → Ỵ Gi s Y={A, B, C, ...} theo tính m r ng trái thu h p ph i:ả ử ở ộ ẹ ả F |= X → A, nên A ∈ X+.
F |= X → B, nên B ∈ X+. F |= X → C, nên C ∈ X+.
..., v y {A, B, C, ...} = Y ậ ⊂ X+.
b. Ch ng minh đi u ngứ ề ượ ạc l i
Y ⊂ X+. Theo đ nh nghĩa t p X+ thì m i A ị ậ ọ ∈ Y ta có F|= X → A, v y theo tính ch tậ ấ c ng đ y đ ta có F|= X → Ỵộ ầ ủ
Ch ng minh tính đ y đ c a h tiên đ Armstrongứ ầ ủ ủ ệ ề
Gi s f: X → Y là m t PTH trên R nh ng không suy d n đả ử ộ ư ẫ ượ ừ ậc t t p PTH F theo h tiên đ Armstrong. Ta xây d ng đệ ề ự ược m t quan h r trên R mà trên đó PTH F th aộ ệ ỏ mãn nh ng f: X → Y không th a mãn. ư ỏ
Xét quan h r trên R có hai ph n t t1, t2: ệ ầ ử
Chia t p R thành hai nhóm thu c t p X+ và nhóm R \ X+. t2 ch a toàn giá tr 1, t1ậ ộ ậ ứ ị ch a toàn giá tr 1 trong nh ng thu c tính thu c X+ và 0 trong nh ng thu c tính cònứ ị ư ộ ộ ữ ộ l ịạ
Ch ng minh r ng t1, t2 th a mãn m i PTH c a F. ứ ằ ỏ ọ ủ
N u W→V c a F không th a mãn r thì W ế ủ ỏ ⊆ X+ n u không s không th a mãn t1.Wế ẽ ỏ = t2.W và V ⊄ X+. N u không thì t1.V = t2.V và th a mãn W→V. V y ít nh t A ế ỏ ậ ấ ∈ V mà A ∉ X+.
Ch ng minh tính đ y đ c a h tiên đ Armstrongứ ầ ủ ủ ệ ề
Vì W ⊆ X+ nên X → W mà W → V suy ra X → V suy ra X → A mà A ∉ X+ vô lý nên r th a mãn m i f thu c F.ỏ ọ ộ
f: X → Y th a mãn r nên X, Y ỏ ⊆ X+ n u không s không th a mãn t1.X =t2.Xế ẽ ỏ ho c t1.Y=t2.Ỵ đi u này l i suy ra X → Y (H qu 2.1). Đi u này l i trái v iặ ề ạ ệ ả ề ạ ớ gi thi t v y f s không th a mãn trên r. V y f không thu c F.ả ế ậ ẽ ỏ ậ ộ
T p PTH f đậ ược suy d n t F đẫ ừ ược g i là bao đóng c a t p PTH F, ký hi u F+.ọ ủ ậ ệ Ví d :ụ R={A, B, C, D} F={A → B, B → C, A →D, B → D} F+ = {A → B, B → C, A → C, A → D, B → D, A → BD, A → BCD, A → BC, A → CD, B → CD} Các tính ch t c a F+ấ ủ ạ Tính ph n x : F ả ạ ⊆ F+ b. Tính đ n đi u: F ơ ệ ⊆ G ⇒ F+ ⊆ G+ c. Tính lũy đ ng: F++=F+ẳ - Bao đóng X+ • Đ nh nghĩa bao đóng X+ị
Cho lược đ quan h R = {A1, ..., An}. Gi s F là t p PTH trên R. X là t p con c aồ ệ ả ử ậ ậ ủ t p thu c tính R.ậ ộ
Bao đóng X đ i v i F, ký hi u X+ (X+ F đ ch bao đóng l y theo t p F) là t p thu cố ớ ệ ể ỉ ấ ậ ậ ộ tính A c a R mà X → A đủ ược suy d n t t p F.ẫ ừ ậ X+ = {A: A ∈ R và X → A ∈ F+} Ví d :ụ R = {A, B, C, D, E, G} F = {A → C, A → EG, B → D, G → E} X = {A, B} Y = {C, D, G} X+ = {A, B, C, D, E, G} Y+ = {C, D, E, G} - Tính ch t c a bao đóng X+ấ ủ 1. Tính ph n x : X ả ạ ⊆ X+ 2. Tính đ n đi u: X ơ ệ ⊆ Y ⇒ X+ ⊆ Y+. 3. Tính lũy đ ng: X++ = X+ẳ
4. Bao đóng t ng ch a t ng các bao đóng: X+Y+ ổ ứ ổ ⊆ (XY)+ 5. (X+Y)+ = (XY+)+ = (X+Y+)+ = (XY)+
6. X → Y ⇒ Y ⊆ X+7. X → Y ⇒ Y+ ⊆ X+ 7. X → Y ⇒ Y+ ⊆ X+ 8. X → X+ và X+ → X
9. X+ = Y+ ⇔ X → Y và Y → X.