V. Biểu diễn lũy thừa bậc cao qua lũy thừa bậc 1 Thí dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức :
1) Biết tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng
Bài toán 1 : Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; -2) và B(2 ; 1). Lời giải : Đường thẳng y = ax + b đi qua A và B
Vậy a = 3 và b = -5.
Bài toán 2 : Cho hai điểm A và B thuộc parabol y = x2. Viết phương trình đường thẳng AB biết hoành độ của A và B lần lượt là -1 và 2.
Lời giải : Vì A thuộc parabol y = x2, có hoành độ là -1 nên A có tung độ là (-1)2 = 1, suy ra A(-1 ; 1). Tương tự, ta xác định được B(2 ; 4). Đường thẳng y = ax + b đi qua A và B Vậy phương trình đường thẳng AB là : y = x + 2.
Bài toán 3 : Trên parabol lấy hai điểm A và B. Biết hoành độ của A là xA = -2 ; tung độ của B là yB = 8. Viết phương trình đường thẳng AB. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Định năm học 2002-2003) Lời giải : Vì A thuộc parabol ; xA = -2 suy ra yA = = 2 ị A(-2 ; 2). Vì B thuộc parabol ; yB = 8 suy ra x2B = 16 ị xB = 4 ị B(-4 ; 8) hoặc B(4 ; 8). Tương tự như hai bài toán trên ta viết được phương trình đường thẳng AB như sau : + Với A(-2 ; 2) và B(4 ; 8) ta có y = x + 4 ; + Với A(-2 ; 2) và B(-4 ; 8) ta có y = -3x - 4. 2) Biết tọa độ một điểm thuộc đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng đó
Bài toán 4 : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là -2 và đi qua điểm A(1 ; 5). Lời giải : Phương trình đường thẳng có hệ số góc là -2 có dạng y = -2x + b, đường thẳng này đi qua A(1 ; 5) 5 = -2 + b b = 7. Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu là y = -2x + 7.
Bài toán 5 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm B(-1 ; 8) và song song với đường thẳng y = 4x + 3. Lời giải : Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau nên hệ số góc của đường thẳng phải tìm là 4, tương tự bài toán 4, ta tìm được kết quả là y = 4x + 12.
Bài toán 6 : Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = -x + 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. Lời giải : Điểm trên trục hoành có hoành độ bằng 2 là điểm có tọa độ (2 ; 0). Tương tự như bài toán trên ta tìm được kết quả là y = -x + 2. 3) Biết đường thẳng tiếp xúc với một parabol và một trong hai yếu tố thuộc dạng 2.
Bài toán 7 : Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với parabol y = x2 và đi qua điểm A(1 ; 1). Lời giải : Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b đi qua A(1 ; 1) nên 1 = a + b hay b = 1 - a. Như vậy đường thẳng cần tìm trở thành : y = ax + 1 - a. Đường thẳng này tiếp xúc với parabol y = x2 phương trình x2 = ax + 1 - a hay x2 - ax + a - 1 = 0 có nghiệm kép Dx = 0 (-a)2 - 4(a - 1) = 0 a2 - 4a + 4 = 0 (a - 2)2 = 0 a = 2. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : y = 2x - 1.
Bài toán 8 : Viết phương trình đường thẳng có đúng một điểm chung với parabol y = x2 và song song với đường thẳng y = 3x + 12. Lời giải : Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b song song với
xúc với parabol y = x2 phương trình x2 = 3x + b hay x2 - 3x - b = 0 có nghiệm kép Dx = 0 (-3)2 + 4b = 0 4b = -9 b = . Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : Sau đây là một số bài tập luyện tập.
Bài tập 1 : Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(-2 ; 15) và B(3 ; -5). Bài tập 2 : Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là -1 và đi qua gốc tọa độ.
Bài tập 3 : Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng tại điểm nằm trên trục tung.
Bài tập 4 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2005. Hãy viết phương trình đường thẳng (d).
Bài tập 5 : Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = x + 1 và cắt parabol tại điểm có tung độ là 4