3.3 Khái niệm cơ sở của một không gian vectơ
Định nghĩa 3.3.1
Giả sử V làK− không gian vectơ. Một hệ vectơ trong V được gọi là một hệ sinh củaV nếu mọi vectơ củaV đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó. NếuV có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thìV được gọi là K− không gian véctơ hữu hạn sinh.
Định nghĩa 3.3.2
Một hệ sinh độc lập tuyến tính trong không gian vectơV được gọi là một cơ sở của
V.
Ví dụ:
1. Trong không gian vectơ hình học E3 tập ba vectơ không đồng phẳng tùy ý lập thành một cơ sở.
2. TrongR- không gian vectơ Rn
, hệ gồm các vectơ
ε1 = (1,0, . . . ,0), ε2 = (0,1, . . . ,0), . . . , εn = (0,0, . . . ,1)
là một cơ sở. Thật vậy, mỗi vectơα = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn đều viết được dưới dạng
α = (a1,0, . . . ,0) + (0, a2, . . . ,0) +· · · + (0,0, . . . , an) = a1ε1 +a2ε2 + · · ·+anεn.
Hơn nữa, hệ vectơε1, ε2, . . . , εn độc lập tuyến tính vì nếu
x1ε1 +x2ε2 +· · ·+ xnεn = θ
thì (x1, x2, . . . , xn) = (0,0, . . . ,0) hay x1 = x2 = · · · =
xn = 0.
Cơ sởε1, ε2, . . . , εn được gọi là cơ sở chính tắc củaRn. 3. Trong R3
hệ 4 vectơ ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1), ε4 = (1,1,1) là hệ sinh nhưng không độc lập tuyến tính vìε4 = ε1 +ε2 + ε3.
4. Không gian vectơ Pn[x] gồm đa thức không và các đa thức f(x) ∈
R[x]vớidegf(x) 6 n có một cơ sở là
1, x, x2, . . . , xn−1, xn
Thật vậy, mọi đa thức f(x) ∈ Pn[x]đều có dạng
f(x) = a0 +a1x +· · ·+ an−1xn−1 +anxn.
nên {1, x, x2, . . . , xn−1, xn} là hệ sinh củaPn[x].
Mặt khác theo ví dụ 3 mục3.1 lại có{1, x, x2, . . . , xn−1, xn} độc lập tuyến tính.