Đứng trước các kì thi quan trọng là kì thi tốt nghiệp THCS và kì thi tuyển sinh vào THPT, chắc rằng bây giờ các em đang rất trăn trở là làm thế nào để khắc sâu được kiến thức nhanh nhất và đạt kết quả cao nhất trong các kì thi.
Một bí quyết nhỏ của tôi là : hãy suy nghĩ sâu hơn từ các bài tập trong sách giáo khoa (SGK), hệ thống chúng lại để dễ ghi nhớ và vận dụng tốt cho các bài tập mới. Sau đây là một ví dụ để các em thấy mỗi bài tập trong SGK là một bài tập cơ sở cho nhiều bài tập khác.
Ta bắt đầu từ bài tập 11 trang 37 SGK Hình học 9 :
Bài toán 1 : Cho một đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vị trí của cát tuyến. Nhận xét 1 : Chứng minh bài toán 1 khá đơn giản, ta xét hai trường hợp điểm M nằm trong và điểm M nằm ngoài (O). Trong cả hai trường hợp ta vẽ thêm cát tuyến MCD bất kì (khác cát tuyến MAB).
Dễ dàng chứng minh được hai tam giác MAC và MDB đồng dạng, suy ra MA.MB = MC.MD.
Nhận xét 2 : Nếu vẽ cát tuyến MCD đi qua O (CD là đường kính) ta còn đưa ra được kết luận mạnh hơn : MA.MB = |MO2 - R2| (R là bán kính (O)). Kết quả này đã được chứng minh trong TTT2 số 12.
Nhận xét 3 : Trường hợp M nằm ngoài (O), cát tuyến MCD trùng với tiếp tuyến MT của đường tròn (C ≡ D ≡ T), hiển nhiên ta có MC.MD = MT2 = MA.MB. Đây chính là nội dung của bài tập 4 trang 40 SGK Hình học 9.
Nhận xét 4 : Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta chứng minh được bài toán sau :
Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD. AB cắt CD tại M và AC cắt BD tại N. Chứng minh rằng các khẳng định sau là tương đương :
a) ABCD là tứ giác nội tiếp.
b) ∠ABC = ∠ADB c) ∠ABC + ∠CDA = 180o d) MA.MB = MC.MD.
e) NA.NC = NB.ND.
Nhận xét 5 : Xét hai đường tròn giao nhau (với một cát tuyến chung đi qua hai giao điểm) ta có các kết quả khác.
Bài toán 3 : Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại hai điểm A và B. Qua điểm M nằm trên đường thẳng AB kẻ hai cát tuyến MCD, MEF lần lượt tới (O1), (O2) (MAB, MCD, MEF không trùng nhau). a) Chứng minh CDFE là tứ giác nội tiếp.
b) Kết luận trên còn đúng không nếu (O1) và (O2) tiếp xúc với nhau (M nằm trên tiếp tuyến chung của hai đường tròn) ?
Bài toán 4 : Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M khác B. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MC, MD của (O1) và hai tiếp tuyến ME, MF của (O2). Chứng minh C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn.
Nhận xét 6 : Bổ sung một số yếu tố khác về đường tròn ta lại có thêm nhiều kết quả khác.
Bài toán 5 : Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. BD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (B thuộc (O2), D thuộc (O1)). Gọi DM là đường kính của (O1), qua M kẻ tiếp tuyến MC với (O2). Chứng minh MC = MD.
Lời giải : Ta có BDO1O2 là hình thang vuông, A thuộc O1O2 ; O1AD và O2AB là các tam giác cân tại O1 và O2 suy ra
∠O1AD + ∠O2AB = 90o => BAD = 90o => M, A, B thẳng hàng.
Vậy DA là đường cao trong tam giác vuông DBM, suy ra MD2 = MA.MB, mặt khác MC2 = MA.MB (theo nhận xét 3).
Vậy MC2 = MD2 hay MC = MD. Đề nghị các bạn giải các bài tập sau :
Bài toán 6 : Cho ∠xMy và đường tròn (O) tiếp xúc với Mx, My lần lượt tại A, B. Qua A vẽ đường thẳng song song với My cắt (O) tại điểm thứ hai C. Đoạn thẳng MC cắt (O) tại điểm thứ hai D, AD cắt My tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của MB.
Bài toán 7 : Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MAB tới đường tròn (A nằm giữa M và B). Hai tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại C ; MO cắt đường tròn đường kính OC tại H ; CH cắt AB tại N ; AB cắt OC tại I. Chứng minh rằng :
a) MA.MB = MI.MN. b) IM.IN = IA2.
Bài toán 8 : Cho (O, R) và một điểm A cố định sao cho OA = 2R. Gọi BC là đường kính của (O, R), BC không trùng với OA. Đường tròn đi qua A, B, C cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai I ; AB và AC cắt (O, R) tại D và E ; DE cắt OA tại K.
a) Tính AK theo R.
b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE di chuyển trên đường thẳng cố định khi BC quay quanh O.
Bài toán 9 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên AB lấy điểm M, vẽ hai tia Mx, My cắt nửa đường tròn tại hai điểm C và D sao cho ∠CMA = ∠DMB
Chứng minh rằng MC.MD = MA.MB.
Bài toán 10 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường phân giác AD cắt (O) tại điểm thứ
hai E. Chứng minh rằng :
AB.AC = AD2 + DB.DC.
Bài toán 11 : Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Gọi D là một điểm thuộc (O). Kẻ tiếp tuyến DA’ với (O’).
a) Tính độ dài DA’ theo DA, R, R’. b) Vẽ tam giác đều DBC nội tiếp (O).
Bài toán 12 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và phân giác AD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng BE = CF.
NHỮNG KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CƠ BẢN
