MN là phađn giác cụa gĩc PMQ.
P A J N K B Q I O D M C E
Do cung BC=90o ⇒BOC=90o⇒∆BOC vuođng cađn ở O⇒BC=AD=R 2Do cung CD=120o ⇒DOC=120o.Kẹ OK⊥CD⇒DOK=60o⇒sin 60o= OD DK ⇒DK= 2 3 R . ⇒CD=2DK=R 3
-Tính AC:Do ∆AIB vuođng cađn ở I⇒2IC2=AB2⇒IA=AB
22 = 2 = 2 2 R Tương tự IC= 2 6 R ; AC = DB=IA+IC = 2 2 ) 3 1 ( 2 6 2 2 R R R + = +
4/PN caĩt CD tái E;MQ caĩt AB tái I;PM caĩt AB tái J. Hình 44
1/C/m:ABCD là hình thang cađn:Do cung BC=90o ⇒BAC=45o (gĩc nt baỉng nửa cung bị chaĩn).do cung
AB=60o;BC=90o;CD=120o⇒
AD=90o ⇒ACD=45o
⇒BAC=ACD=45o.⇒AB//CD.
Vì cung DAB=150o.Cung ABC =150o.⇒
BCD=CDA. ⇒ABCD là thang cađn. 2/C/mAC⊥DB:
Gĩi I là giao đieơm cụa AC và
BD.sđAID= 2 1
sđ
cung(AD+BC)=180o=90o.⇒AC⊥DB. 3/Do cung AB=60o⇒AOB=60o⇒∆AOB là tam giác đeău⇒AB=R.
Do JN//ME ⇒ PE PN ME JN = Do AN//DE ⇒DEAN = PNPE Do NI//ME ⇒MENI =QENQ NB//ME ⇒DENB =QENQ
⇒NI=NJ.Mà MN⊥AB(tc thang cađn)⇒∆JMI cađn ởp M⇒MN là phađn giác…
Bài45:
Cho ∆ đeău ABC cĩ cánh baỉng a.Gĩi D là giao đieơm hai đường phađn giác gĩc A và gĩc B cụa tam giâcBC.Từ D dựng tia Dx vuođng gĩc với DB.Tređn Dx lây đieơm E sao cho ED=DB(D và E naỉm hai phía cụa đường thẳng AB).Từ E kẹ EF⊥BC. Gĩi O là trung đieơm EB.
1. C/m AEBC và EDFB noơi tiêp,xác định tađm và bán kính cụa các đường trịn ngối tiêp các tứ giác tređn theo a.
2. Kéo dài FE veă phía F,caĩt (D) tái M.EC caĩt (O) ở N.C/m EBMC là thang cađn.Tính dieơn tích.
3. c/m EC là phađn giác cụa gĩc DAC. 4. C/m FD là đường trung trực cụa MB. 5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng.
6. Tính dieơn tích phaăn maịt traíng được táo bởi cung nhỏ EB cụa hai đường trịn.
E A N O D B F C ME JN DE AN = DE NB ME NI = Vì NB=NA ⇒ MEJN =MENI
M
1/Do ∆ABC là tam giác đeău cĩ D là giao đieơm 2 đường phađn giác gĩc A và B⇒BD=DA=DC mà DB=DE⇒A;B;E;C cách đeău D⇒AEBC nt trong (D).
Tính DB.Aùp dúng cođng thức tính bán kính cụa đường trịn ngối tiêp đa giác đeău ta cĩ: DB=
== o = o o AB n Sin AB 60 sin 2 180 2 3 3 a
Do gĩc EDB=EFB=1v⇒EDFB noơi tiêp trong đường trịn tađm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go trong tam giác vuođng EDB cĩ:EB2=2ED2=2.( a33 )2.
⇒EB=a36 ⇒OE=a66 2/C/m EBMC là thang cađn:
Gĩc EDB=90o là gĩc ở tađm (D) chaĩn cung EB⇒Cung EB=90o⇒gĩc ECN=45o.⇒∆EFC vuođng cađn ở F⇒FEC=45o⇒MBC=45o(=MEC=45o) ⇒EFC=CBM=45o⇒BM//EC.Ta cĩ ∆FBM vuođng cađn ở F⇒BC=EM ⇒EBMC là thang cađn.
Do EBMC là thang cađn cĩ hai đường chéo vuođng gĩc⇒SEBMC=21 BC.EM (BC=EM=a)⇒SEBMC= 2
1 a2. a2.
3/C/m EC là phađn giác cụa gĩc DCA: Ta cĩ ACB=60o;ECB=45o⇒ACE=15o.
Do BD;DC là phađn giác cụa ∆đeău ABC ⇒DCB=ACD=30o và ECA=15o ⇒ECD=15o
⇒ECA=ECD⇒EC là phađn giác cụa gĩc ECA. 4/C/m FD là đường trung trực cụa MB:
Do BED=BEF+FED=45o và FEC=FED+DEC=45o⇒BEF=DEC và DEC=DCE=15o.Mà BE F=BDF(cùng chaĩn cung BF) và NED=NBD(cùng chaĩn cung ND)⇒NBD=BDF⇒BN//DF mà BN⊥EC(gĩc nt chaĩn nửa đuờng trịn (O) ⇒DF ⊥EC.Do DC//BM(vì BMCE là hình thang cađn)⇒DF⊥BM nhưmg ∆BFM vuođng cađn ở F⇒FD là đường trung trực cụa MB.
5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta cĩ BND=BED=45o (cùng chaĩn cung DB) và ENB=90o(cmt);ENA là gĩc ngồi ∆ANC⇒ENA=NAC+CAN=45o
⇒ENA+ENB+BND=180o⇒A;N;D thẳng hàng. 6/Gĩi dieơn tích maịt traíng caăn tính là:S.
Ta cĩ: S =Snửa (O)-S vieđn phađn EDB
S(O)=π.OE2=π.( 6 6 a )2= 6 2π a ⇒S2 1 (O)= 12 2π a S quát EBD= BDo o 360 90 . 2 × π =4 66 122 2 π π a a = ×
D E I S∆EBD=21 DB2= 6 2 a
Svieđn phađn=S quát EBD - S∆EDB= 12 2π a - 6 2 a = 12 ) 2 ( 2 π− a S =a122π - (12 2) 2 π− a =a62 . Bài 46:
Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Gĩi a là moơt đieơm bât kỳ tređn nửa đường trịn;BA kéo dài caĩt tiêp tuyên Cy ở F.Gĩi D là đieơm chính giữa cung AC;DB kéo dài caĩt tiêp tuyên Cy tái E.
1. C/m BD là phađn giác cụa gĩc ABC và OD//AB. 2. C/m ADEF noơi tiêp.
3. Gĩi I là giao đieơm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB. 4. C/m gĩc AFD=AED F A F A B O C
Hay OD là phađn giác cụa ∆ cađn AOC⇒OD⊥AC. Vì BAC là gĩc nt chaĩn nửa đường trịn ⇒BA⊥AC 2/C/m ADEF noơi tiêp:
Do ADB=ACB(cùng chaĩn cung AB)
Do ACB=BFC(cùng phú với gĩc ABC) Hình 47
OD//BA
⇒ADB=AFE
1/* C/mBD là phađn giác cụa gĩc ABC:Do cung AD=DC(gt)⇒ABD= DBC(hai gĩc nt chaĩn hai cung baỉng nhau)⇒BD là phađn giác cụa gĩc ABC. *Do cung AD=DC ⇒gĩc AOD=DOC(2 cung baỉng nhau thì hai gĩc ở tađm baỉng nhau).
Mà ADB+ADE=2v⇒AFE+ADE=2v⇒ADEF noơi tiêp. 3/C/m: *CI=CE:
Ta cĩ:sđ DCA= 21 sđ cung AD(gĩc nt chaĩn cung AD) Sđ ECD=21 sđ cung DC (gĩc giữa tt và 1 dađy)
Mà cung AD=DC⇒DCA=ECD hay CD là phađn giác cụa ∆ICE.Nhưng CD⊥DB (gĩc nt chaĩn nửa đt)⇒CD vừa là đường cao,vừa là phađn giác cụa ∆ICE⇒∆ICE cađn ở C⇒IC=CE.
*C/m ∆IAD∽∆IBC(cĩ DAC=DBC cùng chaĩn cung DC) 4/Tự c/m:
Bài47:
Cho nửa đtrịn (O);đường kính AD.Tređn nửa đường trịn lây hai đieơm B và C sao cho cung AB<AC.AC caĩt BD ở E.Kẹ EF⊥AD tái F.
1. C/m:ABEF nt.
2. Chứng tỏ DE.DB=DF.DA.
3. C/m:I là tađm đường trịn noơi tiêp ∆CJD.
4. Gĩi I là giao đieơm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC
C B
E
I M
A F O D
Gĩi M là trung đieơm ED. Hình 47
1/Sử dúng toơng hai gĩc đơi. 2/c/m: DE.DB=DF.DA
Xét hai tam giác vuođng BDA và FDE cĩ gĩc D chung.
⇒∆BDA∽∆FDE⇒đpcm.
3/C/m IE là tađm đường trịn ngối tiêp ∆FBC:
Xem cađu 3 bài 35.
ĐO B
*C/m:BCMF noơi tiêp: Vì FM là trung tuyên cụa tam giác vuođng FED⇒FM=EM=MD=21 ED⇒Các tam giác FEM;MFD cađn ở M⇒MFD=MDF và EM F=MFD+MDF=2MDF(gĩc ngồi
∆MFD)
Vì CA là phađn giác cụa gĩc BCF⇒2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF
⇒BMF=BCF⇒BCMF noơi tiêp.
*Ta cĩ BFM∽∆BIC vì FBM=CBI(BD là phađn giác cụa FBC-cmt) và BMF=BCI(cmt) ⇒
BCBM BM BI
BF = ⇒BF.BC=BM.BI
*∆ IFM∽∆IBC vì BIC=FIM(đđ).Do BCMF noơi tiêp⇒CFM=CBM(cùng chaĩn cung CM)⇒
IMIC IC FI
IB = ⇒IC.IF=IM.IB
Lây trừ vê theo vê
⇒ BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2.
Bài 48:
Cho (O) đường kính AB;P là moơt đieơm di đoơng tređn cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vuođng APQR vào phía trong đường trịn.Tia PR caĩt (O) tái C.
1. C/m ∆ACB vuođng cađn.
2. Vẽ phađn giác AI cụa gĩc PAB(I naỉm tređn(O);AI caĩt PC tái J.C/m 4 đieơm J;A;Q;B cùng naỉm tređn moơt đường trịn.
3. Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP. 4. RR I P J Q A
1/ C/m∆ABC vuođng cađn:
Ta cĩ ACB=1v(gĩc nt chaĩn nửa đt) Và APB=1v ;Do APQR là hvuođng cĩ PC là đường chéo ⇒PC là pg cụa gĩc APB⇒ cung
AC=CB ⇒dađy AC=CB ⇒∆ABC vuođng cađn.
2/C/m JANQ noơi tiêp:
Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQ⇒∆PAJ=∆QPJ
R
C
3/C/m: CI.QJ=CJ.QP.
Ta caăn chứng minh ∆CIJ∽∆QPJ vì AIC=APC(cùng chaĩn cung AC) và APC=JPQ=45o⇒JIC=QPJ
Hơn nữa PCI=IAP( cùng chaĩn cung PI);IAP=PQJ(cmt)⇒ PQJ=ICJ 4/
Bài 49:
Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Tređn nửa đường trịn lây đieơm M sao cho cung AM<MB.Tiêp tuyên với nửa đường trịn tái M caĩt tt Ax và By laăn lượt ở D và C.
1. Chứng tỏ ADMO noơi tiêp. 2. Chứng tỏ AD.BC=R2.
3. Đường thẳng DC caĩt đường thẳng AB tái N;MO caĩt Ax ở F;MB caĩt Ax ở E. Chứng minh:AMFN là hình thang cađn.
4. Xác định vị trí cụa M tređn nửa đường trịn đeơ DE=EF F
C Hình 48
E
M D
N A O B
1/C/m ADMO nt:Sử dúng toơng hai gĩc đơi. 2/C/m: AD.BC=R2.
C/m:DOC vuođng ở O: Theo tính chât hai tt caĩt nhau ta cĩ ADO=MDO ⇒MOD=DOA.Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v
⇒AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.
Aùp dúng heơ thức lượng trong tam giác vuođng DOC cĩ OM là đường cao ta cĩ:DM.MC=OM2.Mà DM=AD;MC=CB(t/c hai tt caĩt nhau) và OM=R ⇒đpcm.
3/Do AD=MD(t/c hai tt caĩt nhau)và ADO=ODM ⇒OD là đường trung trực cụa AM hay DO⊥AM. Vì FA⊥ON;NM⊥FO(t/c tt) và FA caĩt MN tái D
⇒D là trực tađm cụa ∆FNO⇒DO⊥FN.Vaơy AM//FN.
Vì ∆OAM cađn ở O⇒OAM=OMA.Do AM//FN ⇒FNO=MAO và AMO=NFO ⇒FNO=NFO vaơy FNAM
là thang cađn.
4/Do DE=FE neđn EM là trung tuyên cụa ∆ vuođng FDM⇒ED=EM. Vì DMA=DAM và
DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1v⇒EDM=DEM hay ∆EDM cađn ở D hay DM=DE.Từ và ⇒∆EDM
là ∆ đeău ⇒ODM=60o⇒AOM=60o.Vaơy M naỉm ở vị trí sao cho cung AM=1/3 nửa đường trịn.
Bài 50:
Cho hình vuođng ABCD,E là moơt đieơm thuoơc cánh BC.Qua B kẹ đường thẳng vuođng gĩc với DE ,đường này caĩt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
1. Chứng minh:BHCD nt. 2. Tính gĩc CHK.
3. C/m KC.KD=KH.KB.
A D
B E C H H
K
KCB và KHD đoăng dáng.
4/Do BHD=1v khođng đoơi ⇒E di chuyeơn tređn BC thì H di đoơng tređn đường trịn đường kính DB.
Hêt phaăn I
1/ C/m BHCD nt(Sử dúng H và C cùng làm với hai đaău đốn thẳng DB…) 2/Tính gĩc CHK: Do BDCE nt ⇒DBC=DHK(cùng chaĩn cung DC) mà DBC=45o (tính chât hình vuođng)⇒DHC=45o mà DHK=1v(gt)⇒CHK=45o. 3/C/m KC.KD=KH.KB.
Chứng minh hai tam giác vuođng