a + b + c a 2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab ≤ a + b + c . ab + bc + ca
394. [ Gabriel Dospinescu ] Cho a1 , a2 ,..., a5 là các số thực dương thỏa mãn ựiều kiện
a1a2 a3a4 a5 = a1 (1+ a2 )+ a2 (1+ a3 )+ ... + a5 (1+ a1 ) + 2 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 + 1 + 1 + 1 + 1 . a1 a2 a3 a4 a5 395. Cho x 1 , x2 , x3 , x4
là các số thực thỏa mãn các ựiều kiện
x + x + x + x = 0, x2 + x2 + x2 + x2 = 1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x3 + x3 + x3 + x3
.
396. [ Cezar Lupu ] Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng
3 3 3 a + abc + b + abc + c + abc ≥ a 2 + b2 + c2 . b + c c + a a + b
397. [ Titu Andresscu ] Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằngcos3 A + cos3 B + cos3 C + cos A cos B cos C ≥ 1 . cos3 A + cos3 B + cos3 C + cos A cos B cos C ≥ 1 .
2
398. [ Phạm Hữu đức ] Cho a, b, c là các số thực không âm nhưng không có hai số nàotrong ba số ựồng thời bằng 0. Chứng minh rằng trong ba số ựồng thời bằng 0. Chứng minh rằng
a2 + bc b2 + ca c2 + ab
3 + 3 + 3 ≥ 9 3 abc .
b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 a + b + c
399. [ Titu Andresscu ] Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng
3(a2 − ab + b2 )(b2 − bc + c2 )(c2 − ca + a2 ) ≥ a3b3 + b3c3 + c3 a3 .
400. [ Darij Grinberg ] Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
cos A cot A + cos B cot B + cos C cot C ≥ 3 cot A + cot B + cot C . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
401. [ Marian Tetiva ] ChoChứng minh rằng Chứng minh rằng
a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ựiều kiệna + b + c = 3 .
a) Nếu a ≤ b ≤1 ≤ c thì 1 + 1 + 1 ≥ 1 + 1 + 1 .
a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1 b) Nếu a ≤ 1 ≤ b ≤ c thì 1 + 1 + 1 ≤ 1 + 1 + 1 .
a + b b + c c + a a +1 b +1 c +1
402. [ Vasile Cartoaje ] Cho x, y, z là các số thực không âm. Chứng minh rằng
x4 ( y + z)+ y 4 ( z + x)+ z 4 (x + y) ≤ 1 (x + y + z)5 . 12
403. [ Zdravko F. Starc ] ChoChứng minh rằng Chứng minh rằng
a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ựiều kiện
abc =1.
a ) ≥ 0 . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
404. [ Ivan Borsenco ] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng(ab + bc + ca)3 ≤ 3(a2b + b2c + c2 a)(ab2 + bc2 + ca2 ) . (ab + bc + ca)3 ≤ 3(a2b + b2c + c2 a)(ab2 + bc2 + ca2 ) .
3∏ ≥ ∏ ≥ 2 2 (x z − y z )(1− x z y z ) > x − y . 1− xy