caĩt DB tái Q.C/m MN là phađn giác cụa góc PMQ.
P A J N K B Q I O D M C E
Do cung BC=90o ⇒BOC=90o⇒∆BOC vuođng cađn ở O⇒BC=AD=R 2Do cung CD=120o
⇒DOC=120o.Kẹ OK⊥CD⇒DOK=60o⇒sin 60o=
OD DK ⇒DK= 2 3 R . ⇒CD=2DK=R 3 Hình 44
1/C/m:ABCD là hình thang cađn:Do cung BC=90o ⇒BAC=45o (góc nt baỉng nửa cung bị chaĩn).do cung
AB=60o;BC=90o;CD=120o⇒ AD=90o ⇒ACD=45o
⇒BAC=ACD=45o.⇒AB//CD. Vì cung DAB=150o.Cung ABC =150o.⇒ BCD=CDA. ⇒ABCD là thang cađn.
2/C/mAC⊥DB:
Gĩi I là giao đieơm cụa AC và
BD.sđAID=
21 1
sđ
cung(AD+BC)=180o=90o.⇒AC⊥DB. 3/Do cung AB=60o⇒AOB=60o⇒∆AOB là tam giác đeău⇒AB=R.
-Tính AC:Do ∆AIB vuođng cađn ở I⇒2IC2=AB2⇒IA=AB 2 2 = 2 2 R Tương tự IC= 2 6 R ; AC = DB=IA+IC = 2 2 ) 3 1 ( 2 6 2 2 R R R + = +
4/PN caĩt CD tái E;MQ caĩt AB tái I;PM caĩt AB tái J.
Do JN//ME ⇒ PE PN ME JN = Do AN//DE ⇒ PE PN DE AN = Do NI//ME ⇒MENI = QENQ NB//ME ⇒ QE NQ DE NB =
⇒NI=NJ.Mà MN⊥AB(tc thang cađn)⇒∆JMI cađn ởp M⇒MN là phađn giác…
Bài45:
Cho ∆ đeău ABC có cánh baỉng a.Gĩi D là giao đieơm hai đường phađn giác góc A và góc B cụa tam giâcBC.Từ D dựng tia Dx vuođng góc với DB.Tređn Dx lây đieơm E sao cho ED=DB(D và E naỉm hai phía cụa đường thẳng AB).Từ E kẹ EF⊥BC. Gĩi O là trung đieơm EB.
1. C/m AEBC và EDFB noơi tiêp,xác định tađm và bán kính cụa các đường tròn ngối tiêp các tứ giác tređn theo a.
2. Kéo dài FE veă phía F,caĩt (D) tái M.EC caĩt (O) ở N.C/m EBMC là thang cađn.Tính dieơn tích.
3. c/m EC là phađn giác cụa góc DAC. 4. C/m FD là đường trung trực cụa MB. 5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng.
6. Tính dieơn tích phaăn maịt traíng được táo bởi cung nhỏ EB cụa hai đường tròn. E A ME JN DE AN = DE NB ME NI = Vì NB=NA ⇒ MEJN = MENI
O
D
B F C M M
1/Do ∆ABC là tam giác đeău có D là giao đieơm 2 đường phađn giác góc A và B⇒BD=DA=DC mà DB=DE⇒A;B;E;C cách đeău D⇒AEBC nt trong (D).
Tính DB.Aùp dúng cođng thức tính bán kính cụa đường tròn ngối tiêp đa giác đeău
ta có: DB= o = o = AB n Sin AB 60 sin 2 180 2 3 3 a
Do góc EDB=EFB=1v⇒EDFB noơi tiêp trong đường tròn tađm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go trong tam giác vuođng EDB có:EB2=2ED2=2.( (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3 3 a )2. ⇒EB= 3 6 a ⇒OE= 6 6 a
2/C/m EBMC là thang cađn:
Góc EDB=90o là góc ở tađm (D) chaĩn cung EB⇒Cung EB=90o⇒góc ECN=45o.⇒∆EFC vuođng cađn ở F⇒FEC=45o⇒MBC=45o(=MEC=45o)
⇒EFC=CBM=45o⇒BM//EC.Ta có ∆FBM vuođng cađn ở F⇒BC=EM ⇒EBMC là thang cađn.
Do EBMC là thang cađn có hai đường chéo vuođng góc⇒SEBMC=12BC.EM (BC=EM=a)⇒SEBMC=
2 1
a2.
3/C/m EC là phađn giác cụa góc DCA: Ta có ACB=60o;ECB=45o⇒ACE=15o.
Do BD;DC là phađn giác cụa ∆đeău ABC ⇒DCB=ACD=30o và ECA=15o
⇒ECD=15o ⇒ECA=ECD⇒EC là phađn giác cụa góc ECA. 4/C/m FD là đường trung trực cụa MB:
Do BED=BEF+FED=45o và FEC=FED+DEC=45o⇒BEF=DEC và
DEC=DCE=15o.Mà BE F=BDF(cùng chaĩn cung BF) và NED=NBD(cùng chaĩn cung ND)⇒NBD=BDF⇒BN//DF mà BN⊥EC(góc nt chaĩn nửa đuờng tròn (O) ⇒DF ⊥EC.Do DC//BM(vì BMCE là hình thang cađn)⇒DF⊥BM nhưmg ∆BFM vuođng cađn ở F⇒FD là đường trung trực cụa MB.
5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có BND=BED=45o (cùng chaĩn cung DB) và ENB=90o(cmt);ENA là góc ngoài ∆ANC⇒ENA=NAC+CAN=45o
⇒ENA+ENB+BND=180o⇒A;N;D thẳng hàng. 6/Gĩi dieơn tích maịt traíng caăn tính là:S.
Ta có: S =Snửa (O)-S vieđn phađn EDB
S(O)=π.OE2=π.(a66 )2= 6 2π a ⇒S2 1 (O)= 12 2π a S quát EBD= BDo o 360 90 . 2 × π = 12 6 6 4 2 2 π π a = a × S∆EBD= 2 1 DB2= 6 2 a
Svieđn phađn=S quát EBD - S∆EDB= 12 2π a - 6 2 a = 12 ) 2 ( 2 π − a S =a122π - (12 2) 2 π − a = 6 2 a . Bài 46:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gĩi a là moơt đieơm bât kỳ tređn nửa đường tròn;BA kéo dài caĩt tiêp tuyên Cy ở F.Gĩi D là đieơm chính giữa cung AC;DB kéo dài caĩt tiêp tuyên Cy tái E.
1. C/m BD là phađn giác cụa góc ABC và OD//AB. 2. C/m ADEF noơi tiêp.
3. Gĩi I là giao đieơm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB. 4. C/m góc AFD=AED
F A
F
1/* C/mBD là phađn giác cụa góc ABC:Do cung AD=DC(gt)⇒ABD= DBC(hai góc nt chaĩn hai cung baỉng nhau)⇒BD là phađn giác cụa góc ABC.
A
B O C
Hay OD là phađn giác cụa ∆ cađn AOC⇒OD⊥AC. Vì BAC là góc nt chaĩn nửa đường tròn ⇒BA⊥AC 2/C/m ADEF noơi tiêp:
Do ADB=ACB(cùng chaĩn cung AB)
Do ACB=BFC(cùng phú với góc ABC) Mà ADB+ADE=2v⇒AFE+ADE=2v⇒ADEF noơi tiêp. 3/C/m: *CI=CE:
Ta có:sđ DCA=12sđ cung AD(góc nt chaĩn cung AD) Sđ ECD=21 sđ cung DC (góc giữa tt và 1 dađy)
Mà cung AD=DC⇒DCA=ECD hay CD là phađn giác cụa ∆ICE.Nhưng CD⊥DB (góc nt chaĩn nửa đt)⇒CD vừa là đường cao,vừa là phađn giác cụa ∆ICE⇒∆ICE cađn ở C⇒IC=CE. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
*C/m ∆IAD∽∆IBC(có DAC=DBC cùng chaĩn cung DC) 4/Tự c/m:
Bài47:
Cho nửa đtròn (O);đường kính AD.Tređn nửa đường tròn lây hai đieơm B và C sao cho cung AB<AC.AC caĩt BD ở E.Kẹ EF⊥AD tái F.
1. C/m:ABEF nt.
2. Chứng tỏ DE.DB=DF.DA.
3. C/m:I là tađm đường tròn noơi tiêp ∆CJD.
4. Gĩi I là giao đieơm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC
Hình 47
OD//BA
⇒ADB=AFE
1/Sử dúng toơng hai góc đôi. 2/c/m: DE.DB=DF.DA
Xét hai tam giác vuođng BDA và FDE có góc D chung.
⇒∆BDA∽∆FDE⇒đpcm.
C B
E
I M
A F O D
Gĩi M là trung đieơm ED.
*C/m:BCMF noơi tiêp: Vì FM là trung tuyên cụa tam giác vuođng
FED⇒FM=EM=MD=21ED⇒Các tam giác FEM;MFD cađn ở M⇒MFD=MDF và EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngoài ∆MFD)
Vì CA là phađn giác cụa góc BCF⇒2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF ⇒BMF=BCF⇒BCMF noơi tiêp.
*Ta có BFM∽∆BIC vì FBM=CBI(BD là phađn giác cụa FBC-cmt) và BMF=BCI(cmt) ⇒BFBI = BMBC ⇒BF.BC=BM.BI
*∆ IFM∽∆IBC vì BIC=FIM(đđ).Do BCMF noơi tiêp⇒CFM=CBM(cùng chaĩn cung CM)⇒FIIB = IMIC ⇒IC.IF=IM.IB
Lây trừ vê theo vê
⇒ BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2.
Bài 48:
Cho (O) đường kính AB;P là moơt đieơm di đoơng tređn cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vuođng APQR vào phía trong đường tròn.Tia PR caĩt (O) tái C.
1. C/m ∆ACB vuođng cađn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2. Vẽ phađn giác AI cụa góc PAB(I naỉm tređn(O);AI caĩt PC tái J.C/m 4 đieơm
ĐO B 3. Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP. 4. RR I P J Q A R C 3/C/m: CI.QJ=CJ.QP.
Ta caăn chứng minh ∆CIJ∽∆QPJ vì AIC=APC(cùng chaĩn cung AC) và APC=JPQ=45o⇒JIC=QPJ
Hơn nữa PCI=IAP( cùng chaĩn cung PI);IAP=PQJ(cmt)⇒ PQJ=ICJ 4/
Bài 49:
Hình 48
1/ C/m∆ABC vuođng cađn:
Ta có ACB=1v(góc nt chaĩn nửa đt) Và APB=1v ;Do APQR là hvuođng có PC là đường chéo ⇒PC là pg cụa góc APB⇒ cung
AC=CB ⇒dađy AC=CB ⇒∆ABC vuođng cađn.
2/C/m JANQ noơi tiêp:
Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQ⇒∆PAJ=∆QPJ ⇒ góc PAJ=PQJ mà JAB=PAJ và PQJ+JQB=2v⇒
Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Tređn nửa đường tròn lây đieơm M sao cho cung AM<MB.Tiêp tuyên với nửa đường tròn tái M caĩt tt Ax và By laăn lượt ở D và C.
1. Chứng tỏ ADMO noơi tiêp. 2. Chứng tỏ AD.BC=R2.
3. Đường thẳng DC caĩt đường thẳng AB tái N;MO caĩt Ax ở F;MB caĩt Ax ở E. Chứng minh:AMFN là hình thang cađn.
4. Xác định vị trí cụa M tređn nửa đường tròn đeơ DE=EF F C E M D N A O B 1/C/m ADMO nt:Sử dúng toơng hai góc đôi.
2/C/m: AD.BC=R2.
C/m:DOC vuođng ở O: Theo tính chât hai tt caĩt nhau ta có ADO=MDO
⇒MOD=DOA.Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v
⇒AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.
Aùp dúng heơ thức lượng trong tam giác vuođng DOC có OM là đường cao ta có:DM.MC=OM2.Mà DM=AD;MC=CB(t/c hai tt caĩt nhau) và OM=R ⇒đpcm.
3/Do AD=MD(t/c hai tt caĩt nhau)và ADO=ODM ⇒OD là đường trung trực cụa AM hay DO⊥AM. Vì FA⊥ON;NM⊥FO(t/c tt) và FA caĩt MN tái D
⇒D là trực tađm cụa ∆FNO⇒DO⊥FN.Vaơy AM//FN.
Vì ∆OAM cađn ở O⇒OAM=OMA.Do AM//FN ⇒FNO=MAO và AMO=NFO
⇒FNO=NFO vaơy FNAM là thang cađn.
4/Do DE=FE neđn EM là trung tuyên cụa ∆ vuođng FDM⇒ED=EM. Vì DMA=DAM và
DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1v⇒EDM=DEM hay ∆EDM cađn ở D hay DM=DE.Từ
và ⇒∆EDM là ∆ đeău ⇒ODM=60o⇒AOM=60o.Vaơy M naỉm ở vị trí sao cho cung AM=1/3 nửa đường tròn.
Bài 50: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho hình vuođng ABCD,E là moơt đieơm thuoơc cánh BC.Qua B kẹ đường thẳng vuođng góc với DE ,đường này caĩt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K.
1. Chứng minh:BHCD nt. 2. Tính góc CHK.
3. C/m KC.KD=KH.KB.
4. Khi E di đoơng tređn BC thì H di đoơng tređn đường nào?
A D
B E C H H
K
KCB và KHD đoăng dáng.
4/Do BHD=1v khođng đoơi ⇒E di chuyeơn tređn BC thì H di đoơng tređn đường tròn đường kính DB.
Hêt phaăn I
1/ C/m BHCD nt(Sử dúng H và C cùng làm với hai đaău đốn thẳng DB…) 2/Tính góc CHK: Do BDCE nt ⇒DBC=DHK(cùng chaĩn cung DC) mà DBC=45o (tính chât hình vuođng)⇒DHC=45o mà DHK=1v(gt)⇒CHK=45o. 3/C/m KC.KD=KH.KB.
Chứng minh hai tam giác vuođng