M D= N E Chứng minh rằng N luôn song song với một mặt phẳng cố định.
1. Chứng minh các đẳng thức về vectơ
* Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng:
a. SA SC SB SDuur uuur uur uuur+ = + b. SAuur2 +SCuuur2 =SBuur2+SDuuur2
Giải
a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: SA SCuur uuur+ =2SOuuur (1)
Vì OB = OD nên SB SDuur uuur+ =2SOuuur (2)
So sánh (1) và (2) ta suy ra SA SC SB SDuur uuur uur uuur+ = + b. Ta có:
2 2
2
( ) 2 .
SA= SO OA+ =SO +OA + SO OA
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Mà OA OCuuur uuur r+ =0 nên
2 2 2 2 2
2
SA +SC = SO +OA +OC
uur uuur uuur uuur uuur
Tương tự ta có: SBuur2 +uuurSD2 =2uuurSO2 +OBuuur2+ODuuur2 Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có
OAuuur = OBuuur = OCuuur = ODuuur
Từ đó suy ra SAuur2+SCuuur2 =SBuur2+SDuuur2
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng:
a. uuur uuur uuur uuurAD BC+ =AC BD+ =2MNuuuur b. GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =0
c. uuur uuur uuur uuurPA PB PC PD+ + + =4PGuuur với P là một điểm bất kì.
Giải:
a. Ta có: MNuuuur uuur uuur uuur=MA AD DN+ + và
MN =MB BC CN+ +
uuuur uuur uuur uuur
Suy ra:
2MNuuuur=(MA MBuuur uuur+ )+uuur uuurAD BC+ +(DN CNuuur uuur+ ) Vì MA MB DN CNuuur uuur uuur uuur r+ = + =0 nên
2MNuuuur uuur uuur=AD BC+
Hình 6.2 O D C B A S D C B G N M A
Ta suy ra: uuur uuur uuur uuurAD BC+ = AC BD+ =2MNuuuur
b. Vì GA GBuuur uuur+ =2GMuuuur, GC GDuuur uuur+ =2GNuuur, GM GNuuuur uuur r+ =0 nên GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0 c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có:
(uuur uuurPA PG− ) (+ uuur uuurPB PG− ) (+ PC PGuuur uuur− ) (+ PD PGuuur uuur− ) 0=r Do đó: PA PB PC PDuuur uuur uuur uuur+ + + =4PGuuur