II, Bài tập và hớng dẫn:
CHUYÊN ẹỀ 5: HAỉM SỐ y= ax2 (a khaực 0),
dự kiến, ngời đĩ đã cải tiến các thao tác hợp lý hơn nên đã tăng năng suất đợc 3 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy ngời đĩ hồn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1giờ 36 phút. Hãy tính năng suất dự kiến.
Bài 66: Giải bài tốn bằng cách lập phơng trình.
Một tổ cĩ kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất 10 sản phẩm một ngày thì tổ đĩ hồn thành sản phẩm sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến
Bài 67: Giải bài tốn bằng cách lập phơng trình.
Một đồn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành đồn xe đợc giao thêm 14 tấn hàng nữa do đĩ phải điều thêm 2 xe cùng loại trên và mỗi xe chở thêm 0,5 tấn hàng. Tính số xe ban đầu biết số xe của đội khơng quá 12 xe.
Bài 68: Giải bài tốn bằng cách lập phơng trình.
Một máy bơm dùng để bơm đầy một bể nớc cĩ thể tích 60 m3 với thời gian dự định trớc. Khi đã bơm đợc 1/2 bể thì mất điện trong 48 phút. Đến lúc cĩ điện trở lại ngời ta sử dụng thêm một máy bơm thứ hai cĩ cơng suất 10 m3/h. Cả hai máy bơm cùng hoạt động để bơm đầy bể đúng thời gian dự kiến. Tính cơng suất của máy bơm thứ nhất và thời gian máy bơm đĩ hoạt động.
Bài 69: Giải bài tốn bằng cách lập phơng trình.
Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sơng dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng, biết vận tốc của dịng nớc là 4 km/h.
Bài 70: Giải bài tốn bằng cách lập phơng trình.
Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 60 km rồi quay trở lại A ngay với vận tốc cũ. Nhng lúc về, sau khi đi đợc 1 giờ thì xe hỏng nên phải dừng lại sửa 20 phút. Sau đĩ ngời ấy đi với vận tốc nhanh hơn trớc 4 km/h trên quãng đờng cịn lại. Vì thế thời gian đi và về bằng nhau. Tính vận tốc ban đầu của xe.
Bài 71: Một ơ tơ dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đƯờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu .
Chuyẽn ủề: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHệễNG TRèNH BAẩNG PHệễNG PHÁP ẹỒ THề
Kiến thức chung:
Trong chửụng trỡnh toaựn THCS ta gaởp toá ủoọ giao ủieồm ( neỏu coự ) cuỷa hai ủồ thũ y = f(x) vaứ
y = g(x) laứ nghieọm cuỷa heọ phửụng trỡnh : y = g (x) y= f(x)
.
Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm :
f(x) = g(x) (*).Bieọn luaọn soỏ giao ủieồm cuỷa hai ủồ thũ trẽn laứ laứ bieọn luaọn soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (*) .
Toá ủoọ giao ủieồm ( neỏu coự ) cuỷa hai ủửụứng thaỳng (D) vaứ (D’) laứ nghieọm cuừa heọ phửụng trỡnh
= mx+n y = m'x+ n'
y
. Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm ( m – m’) x + n – n’ = 0 (*)
+ Phửụng trỡnh (*) võ nghieọm ⇔ (D) // (D’) ⇔ m = m’ vaứ n ≠n’
+Phửụng trỡnh (*) coự nghieọm duy nhaỏt ⇔ (D) caột (D’) ⇔ m ≠m’
+Phửụng trỡnh (*) võ soỏ nghieọm ⇔ (D) truứng (D’) ⇔ m = m’ vaứ n = n’
Baứi toaựn 1.Trẽn maởt phaỳng toá ủoọ cho ủửụứng thaỳng (d) coự phửụng trỡnh : 2kx +(k-1) y = 2(k laứ tham soỏ )
a) Tỡm k ủeồ (d) song song vụựi ủửụứng thaỳng y = x 3 ? Vaứ tớnh goực táo bụỷi (d) vụựi tia Ox . b) Tỡm k ủeồ khoaỷng caựch tửứ goỏc toá ủoọ ủeỏn ủửụứng thaỳng (d) laứ lụựn nhaỏt .
CHUYÊN ẹỀ 5: HAỉM SỐ y = ax2 ( a khaực 0) , 0) ,
Giaỷi : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1) Vụựi k = 1 thỡ PT (d) laứ x = 1 , (d) khõng // y = 3x .Vụựi k ≠1 . ẹửa PT (d) về dáng :
y = 2 . 2 (**) ; (d) // y = 3 -2k 3 3(2 3)
1 1 k-1
k x x k
k k
− + ⇔ = ⇒ = −
− − khi ủoự (d) táo vụựi tia Ox moọt
goực α = 600 vỡ tg α = 3
2)+ Vụựi k = 1 thỡ khoaỷng caựch tửứ 0 ủeỏn (d) laứ 2 .
+Vụựi k ≠0 vaứ k ≠1 , gói giao ủieồm cuỷa (d) vụựi Ox , Oy laứ A,B . Thay y = 0 vaứo (**) ta coự : xA = 1/k ⇒
OA = / 1/k / . Thay x = 0 vaứo (**) coự
yB = 2/ k – 1 hay OB = / 2/ k – 1 / . Roừ raứng (d) khõng ủi qua goỏc toá ủoọ O vụựi k ≠ 0 vaứ 1 ∆AOB vuõng coự : 1/ OH2 = 1/ OA2+ 1/ OB2 . Tửứ ủoự OH = 2 2 ;
5k −2k+1
Ta coự : 5k2 -2k +1 = 5 ( k – 1/5 )2 +4/5 ≥ 4/5 , mói k vỡ vaọy OH ≥ 5 & OH = 5 khi k = 1/5 . Toựm lái vụựi k = 1/5 thỡ khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn (d) laứ lụựn nhaỏt
Baứi toaựn 2. Cho baỏt PT : 3(m -1) x +1 > 2m +x ( m laứ tham soỏ ) .
1) Giaỷi baỏt PT vụựi m = 1 -2 2 ; 2) Tỡm m ủeồ baỏt PT nhaọn mói giaự trũ x > 1 laứ nghieọm .
Giaỷi : 1) Vụựi m = 1 - 2 2 , BPT ủaừ cho coự dáng - (6 2 1) 1 4 2 x <4 2 1.
6 2 1
x −
+ > − ⇔
+
2) BPT ủaừ cho vieỏt dửụựi dáng ( 3m-4)x +(1-2m) > 0 (1)
Xeựt haứm soỏ f(x) = (3m – 4)x + ( 1 – 2m) . ẹồ thũ haứm soỏ naứy laứ moọt ủửụứng thaỳng nẽn ủeồ BPT (1) ủuựng vụựi mói x > 1 thỡ 3fm(1)− >4 0m 3 0⇔ ≥m 3.
= − ≥
Toá ủoọ giao ủieồm ( neỏu coự) cuỷa ủửụứng thaỳng (D) y = mx+n vaứ parabol (P) y = ax2 laứ nghieọm cuỷa heọ phửụng trỡnh : =y mx ny ax= 2+ . Phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm :ax2 –mx – n = 0 (*) .
Bieọn luaọn soỏ giao ủieồm cuỷa (D) vaứ (P) laứ bieọn luaọn soỏ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh (*) +Phửụng trỡnh (*) võ nghieọm ⇔(D) vaứ (P) khõng coự ủieồm chung .
+ Phửụng trỡnh (*) coự nghieọm keựp ⇔ (D) tieỏp xuực (P) .
+ Phửụng trỡnh (*) coự 2 nghieọm phãn bieọt ⇔ (D) caột (P) tái 2 ủieồm phãn bieọt .
Baứi 1. Giaự trũ naứo cuỷa m thỡ ủửụứng thaỳng ( D) y = m(1-x) tieỏp xuực vụựi (P) y = -ẵ x2 .Trong trửụứng hụùp (D)
tieỏp xuực (P) . Tỡm toá ủoọ tieỏp ủieồm . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giaỷi : Toá ủoọ giao ủieồm cuỷa (D) vaứ (P) (neỏu coự) laứ nghieọm cuỷa heọ phửụng trỡnh
22 2 (1 ) x y y m x = − = − H y = x d y x 1 3 0
PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm : ẵ x2 +m(1-x) = 0 hay x2 -2mx +2m = 0 (*)
∆’ = m2 – 2m
+ (D) tieỏp xuực vụựi (P) ⇔ PT(*) coự nghieọm keựp ⇔m2 -2m = 0 ⇔ m = 0 hay m = 2
+ PT caực ủửụứng thaỳng tieỏp xuực vụựi (P) : (D1) y = 0 tieỏp xuực (P) tái 0 (0;0) +PT hoaứnh ủoọ tieỏp ủieồm cuỷa (D2) vaứ (P) : x2 -4x +4 = 0 ⇔ (x-2)2 = 0 ⇔ x = 2 .
Tung ủoọ tieỏp ủieồm y = -ẵ . 22= -2 Vaọy (D2) tieỏp xuực vụựi (P) tái (2 ; -2)
Baứi 2. Chửựng minh raống ủửụứng thaỳng (D) y = 8mx – 8m2 ( m laứ tham soỏ ) luõn tieỏ`p xuực vụựi parabol (P) y =
2x2
Hửụựng daĩn : Chửựng minh PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm 2x2 – 8mx +8m2 = 0 hay x2- 4mx +4m2 = 0
coự nghieọm keựp .
Baứi 3) Trong maởt phaỳng toá ủoọ Oxy cho ủửụứng thaỳng (d) : 2x – y – a2 = 0 vaứ parabol (p)
y = ax2 ( a laứ tham soỏ dửụng ) .
1) Tỡm a ủeồ (d) caột (P ) tái hai ủieồm phãn bieọt A , B . Chửựng ming raống khi ủoự A,B naốm bẽn phaỷi trúc tung .
2) Gói u , v theo thửự tửù laứ hoaứnh ủoọ cuỷa A,B . Tỡm giaự trũ nhoỷ nhaỏt cuỷa bieồu thửực T 4 1 u v uv
= +
+
Giaỷi : 1) PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa ủửụứng thaỳng (D) vaứ parabol (P) coự dáng
ax2 – 2x +a2 = 0 (1)
ẹửụứng thaỳng (D) caột (P) tái hai ủieồm phãn bieọt A,B khi vaứ chổ khi ∆ =a > 0 ' 1-a3 >0⇔ <0 a < 1 . Luực ủoự
neỏu gói u , v lần lửụùt laứ hoaứnh ủoọ cuỷa A vaứ B thỡ theo ủũnh lớ Vi-eựt cho PT (1) ta coự u+v = ẵ a > 0 vaứ u.v = a > 0 , suy ra A,B naốm về bẽn phaỷi trúc tung (ủpcm) .
2) Tửứ keỏt quaỷ 1) ta coự T = 2a + 1 2 (2 )a 1 ,hay T 2 2
a ≥ a ≥ ủát ủửụùc khi vaứ chổ khi a = 2 .2
Baứi 4. Trong maởt phaỳng toá ủoọ Oxy , cho parabol (P) : y = - x2 vaứ ủửụứng thaỳng (d) ủi qua ủieồm
I( 0 ; -1 ) coự heọ soỏ goực k .
1) Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d) . Chửựng minh vụựi mói giaự trũ cuỷa k , (d) luõn caột (P) tái hai ủieồm phãn bieọt A vaứ B .
2) Gói hoaứnh ủoọ cuứa A vaứ B laứ x1 vaứ x2 , chửựng minh x1 −x2 ≥ 2 .
Giaỷi : 1) (d) : y = kx +1 . PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ (d) laứ : x2 + kx -1 = 0 . PT naứy coự
∆ > 0 ⇒ ủpcm . 2) x1.x2 = -1 , tửứ ủoự
1 2 1 1 1 1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 1 1 1
1 ; x & 1 cung dau nen x 1 1 2
x x x x
x x x x
− = + + = + ≥ ;
Baứi 5. Cho haứm soỏ y = -ẳ x2 .
1) Veừ ủồ thũ (P) cuỷahaứm soỏ trẽn .
2) Gói I laứ ủieồm thuoọc ủửụứng thaỳng y = 1 vaứ coự hoaứnh ủoọ m ( m laứ tham soỏ ) . Chửựng minh raống tửứ I ta coự theồ veừ ủửụùc hai ủửụứng thaỳng tieỏp xuực vụựi (P) .
Hửụựng daĩn :
1) Veừ (P)
2) I(m;1) ∈ (D) ⇔ 1 = am +b ⇔ b = 1- am . Luực ủoự (D) y = ax + (1 – am )
PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm cuỷa (D) vaứ (P) : x2 +4ax +4 – 4am = 0
∆’ = 4a2 + 4ma – 4
Do 4 vaứ -4 traựi daỏu nẽn PT (1) luõn luõn coự hai nghieọm phãn bieọt vụựi mói m ∈ R , ủiều naứy chửựng toỷ coự
hai ủửụứng thaỳng veừ tửứ I tieỏp xuực vụựi (P) , ủoự laứ : (D1) y = a1x + (1 – a1m )
(D2) y = a2x + ( 1 – a2m ) , ( Trong ủoự a1 , a2 laứ nghieọm phửụng trỡnh (1) )
Baứi 6. Cho haứm soỏ y = x2
a) Veừ ủồ thũ (P)
b) Trẽn (P) laỏy hai ủieồm A vaứ B coự hoaứnh ủoọ laứ – 1 vaứ 2 . Vieỏt PT ủửụứng thaỳng AB . c) Trẽn cung AB cuỷa (P) tỡm ủieồm C sao cho dieọn tớch tam giaực ABC lụựn nhaỏt .
Hửụựng daĩn :
a) HS thửùc hieọn ( Hỡnh veừ bẽn dửụựi ) b) Tỡm toá ủoọ caực ủieồm A,B
A(-1 ; 1) B(2;4)
Phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng AB laứ (D) y = x +2 .
c) Tỡm ủieồm C( x0 ; y0 ) ∈ (P) tái ủoự ủửụứng thaỳng (D’) tieỏp xuực vụựi (P) vaứ song song vụựi (D) .
+ẹửụứng thaỳng (D’) song song vụựi (D) coự dáng : y = x + b
+PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm ( neỏu coự ) giửừa (D’) vaứ (P) : x2 – x – b = 0 , vỡ (D’) tieỏp xuực vụựi (P) nẽn PT hoaứnh ủoọ giao ủieồm trẽn coự nghieọm keựp , tửực laứ :
∆ = 1 + 4b = 0 ⇔ b = -ẳ
+ Luực ủoự hoaứnh ủoọ giao ủieồm laứ x = ẵ vaứ tung ủoọ giao ủieồm laứ y = ẳ + Vaọy ủieồm C( ẵ ; ẳ ) vaứ (D’) y = x – ẳ song song vụựi (D) vaứ tieỏp xuực (P) . +Ta coự dieọn tớch tam giaực MAB (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
S = ẵ MH’.AB ( MH’ laứ khoaỷng caựch tửứ M ∈ cung AB ủeỏn (D) )
Do AB khõng ủoồi nẽn S lụựn nhaỏt ⇔ MH’ lụựn nhaỏt .
Ta coự MH’ ≤ CH ( vỡ M naốm giửừa hai ủửụứng thaỳng song song (D) vaứ (D’) ) nẽn khoaỷng caựch tửứ
-5 5 2 -2 -4 y x I 0 B A f x( ) = -x 2 4
M ủeỏn ủửụứng thaỳng (D) nhoỷ hụn khoaỷng caựch giửừa hai ủửụứng thaỳng song song naứy . Daỏu “ = “ xaỷy ra ⇔ M truứng C
Vaọy C ( ẵ ; ẳ ) laứ ủieồm thuoọc cung AB sao cho dieọn tớch tam giaực ABC lụựn nhaỏt .
Bài tập:
Bài 1: a) Trên hệ trục tọa độ 0xy ,vẽ đồ thị (P) của hàm số y = 2
41 1
x
b) Xác định hàm số y = a.x + b .Biết đồ thị của nĩ qua điểm M( 2; 1) và tiếp xúc với (P) Bài 2: Cho pa ra bol (P) : y = - 2x2
a) Vẽ P trên hệ trục tọa độ
b) Tìm trên P các điểm sao cho khoảng cách từ đĩ đến gốc tọa độ O bằng 3
c) Gọi A và B là hai điểm thuộc P cĩ hồnh độ lần lợc là - 2 và 2 3
.Tính S AOB theo đơn vị hệ trục Oxy Bài 3: Cho hàm số y = a x2 cĩ đồ thị là (P)
a) Xác định a biết đồ thị (P) qua điểm A(-2;-1) và vẽ (P)
b) Gọi B là điểm trên (P) cĩ hồnh độ bằng 4 .Viết phơng trình đờng thẳng (D) Tiếp xúc (P) và song song với đờng thẳng AB
Bài 4. Cho (P): y = -2x2 và (d) y = x -3 c) Tìm giao điểm của (P) và (d)
My y x (D') (D) (p) H' H O C B A
d) Gọi giao điểm của (P) và (d) ở câu a là A và B trong đĩ A là điểm cĩ hồnh độ nhỏ hơn; C, D lần l ợt là hình chiếu vuơng gĩc của A và B trên Ox. Tính diện tích và chu vi tứ giác ABCD.
Bài 5: Cho hai đờng thẳng cĩ phơng trình:
y = mx - 2 (d1) và 3x + my = 5 (d2)
a/ Khi m = 2, xác định hệ số gĩc và tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng b/ Khi d1 và d2 cắt nhau tại M(x0;y0), tìm m để .
3m m m 1 y x 2 2 0 0 + − = +
c/ Tìm m để giao điểm của d1 và d2 cĩ haịnh độ dơng và tung độ âm Bài 6: Cho hàm số : y = 2
21 1
x
1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số.
2) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) cĩ hệ số gĩc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên . Bài 7: Vẽ đồ thị hàm số 2 2 x y=
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm ( 2 ; -2 ) và ( 1 ; - 4 ) 2) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 8: Cho parabol (P): y =
24 4 x − và đờng thẳng (d): y = 1 2 − x + n a) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b) Tìm giá trị của n để đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm.
c) Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) với (P) nếu n = 1