Giải hệ phơng trình : 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) x y z x y y z z x x y z x y y z z x + + = − − − + + = − − − B ài Iv
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) bán kính R với BC = a , AC = b , BA = c . Lấy điểm I bất kỳ ở phía trong của tam giác ABC . Gọi x ,y ,z lần lợt là khoảng cách từ điểm I đến BC , AC và AB của tam giác ABC .
Chứng minh : 2 2 2 2 a b c x y z R + + + + ≤ B ài v
Cho tập hợp P gồm 10 điểm trong đó có một số cặp điểm đợc nối với nhau bằng đoạn thẳng . Số các đoạn thẳng có trong tập P nối từ điểm A đến các điểm khác gọi là bậc của điểm A . CMR bao giờ cũng tìm đợc hai điểm trong tập hợp P có cùng bậc.
đề thi số 31
Năm học 2003 - 2004
Đề thi vào lớp 10
PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’)
B
ài I ( 1,5 điểm) :
Cho phơng trình x2 + x – 1 = 0 . Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái dấu . Gọi x1 là nghiệm âm của phơng trình . Hãy tính giá trị biểu thức : 8
1 10 1 13 1
P= x + x + +x
B
ài iI ( 2 điểm) :
Cho biểu thức P =x 5− + −x (3 x). 2+x .
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0≤ ≤x 3.
B
ài iiI ( 2 điểm) :
a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a ,b, c sao cho : a2+ + =b2 c2 2007
b) Chứng minh rằng không tồn tai các số hữu tỷ x , y , z sao cho x2+y2+ + +z2 x 3y+ + =5z 7 0
B
ài iv ( 2,5 điểm) :
Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ đờng cao AH . Gọi (O) là vòng tròn ngoại tiếp tam giác AHC . Trên cung nhỏ AH của vòng tròn (O) lấy điểm M bất kỳ khác A . Trên tiếp tuyến tại M của vòng tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD = BE = BA . Đờng thẳng BM cắt vòng tròn (O) tại điểm thứ hai N .
a) CMR tứ giác BDNE nội tiếp một vòng tròn.
b) Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và vòng tròn (O) tiếp xúc với nhau .
B
ài v ( 2 điểm) :
Có n điểm , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng . Hai điểm bất kỳ đợc nối với nhau bằng một đoạn thẳng , mỗi đoạn thẳng đợc tô một màu xanh , đỏ hoặc vàng. Biết rằng : có ít nhất một đoạn màu xanh , một đoạn màu đỏ ,và một đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đó đã nối có ba cạnh cùng màu.
a) CMR không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm. b) Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thoả mãn điều kiện đề bài .
đề thi số 32
Năm học 2004 - 2005 Đề thi vào lớp 10
PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’)
B
ài I ( 2 điểm) :
1) Chứng minh rằng với mọi x thoả mãn 1≤ ≤x 5, ta có : 5− +x x− ≥1 2
2) Giải phơng trình :
5− +x x− = − +1 x2 2x+1
B
ài Ii ( 2 điểm) :
Cho x, y , z là các số dơng thoả mãn xy + yz + zx = 1 1) CMR : 1 + x2 = ( x + y )( x + z )
2) Tính giá trị của biểu thức :
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . 1 1 1 y z x z y x P x y z x y z + + + + + + = + + + + + B
ài Iii ( 3 điểm) :
Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm O và O’ nằm về hai phía khác nhau đối với đờng thẳng AB . Đờng thẳng (d) quay quanh B , cắt các đờng tròn (O) và (O’) lần lợt tại C và D ( C khác A , B và D khácA , B )
1) CMR số đo các góc ACD , ADC và CAD không đổi .
2) Xác định vị trí của (d) sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất.
3) Các điểm M, N lần luợt chạy trên (O) và (O’) , ngợc chiều nhau sao cho các góc MOA , NO’A bằng nhau . CMR đờng trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định .
B
ài Iv ( 2điểm) :
Tìm a , b để hệ sau có nghiệm duy nhất. 2 2 2 2 4 xyz z a xyz z b x y z + = + = + + = B ài v ( 1 điểm) : Cho ba số a , b , c thoả mãn : 0≤ ≤a 2;0≤ ≤b 2;0≤ ≤c 2 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng : a3+ + ≤b3 c3 9
đề thi số 33
Năm học 2005 - 2006 Đề thi vào lớp 10
PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’)
B
ài I ( 1,5 điểm) :
Biết a ,b , c là các số thực thoả mãn a + b + c = 0 và abc ≠ 0. 1) Chứng minh a2+ − = −b2 c2 2ab
2) Tính giá trị của biểu thức
P 2 12 2 2 12 2 2 12 2a b c b c a c a b