Mụn: Đại số
Thời gian: 180 phỳt
Cõu 1.Cho V là khụng gian vectơ tất cả cỏc ma trận vuụng cấp 2 phần tử thực. Xột ỏnh xạ f :V → V a b c d 7→ −a −b −c −d
1) Chứng minh rằng f là phộp biến đổi tuyến tớnh của V. 2) Tỡm ma trận của f theo cơ sở chớnh tắc của V.
3) TỡmKerf, Imf.
Cõu 2.Giả sử f là phộp biến đổi tuyến tớnh và cú ma trận đối với cơ sở đó cho là A= 1 1 0 0 1 0 5 3 −2
1) Tỡm giỏ trị riờng và vectơ riờng của f.
2) Vectơ riờng của f tỡm được ở cõu 1) cú tọa độ đối với cơ sở nàỏ 3)f cú phải đẳng cấu khụng? Tại saỏ
Cõu 3. 1) Cho G là tập tất cả cỏc giỏ trị căn phức bậc n của 1, với n
là số nguyờn dương. Chứng minh rằng đối với phộp nhõn cỏc số phức thụng thường, Glà nhúm Cyclic.
2) ChoA là một vành vàI là một tập con của A. Chứng minh rằng I là Ideal của A khi và chỉ khi I là hạt nhõn của một đồng cấu nào đú từ A.
Cõu 4. Cho A[x] là vành đa thức một ẩn trờn vànhA giao hoỏn cú đơn vị.
1) Chứng minh rằng nếu A là trường thỡA[x] là vành chớnh.
2) GọiRlà trường cỏc số thực vàI là Ideal của vànhR[x]sinh bởix2+ 1. Chứng minh vành thương R[x]/I là một trường.
3) Nếu A là một trường thỡA[x] cú phải là một trường khụng? Tại saỏ Cõu 5.ChoAlà một ma trận vuụng cấp 2 phần tử thực vàn∈N, n ≥2. Chứng minh rằng An= 0 khi và chỉ khi A2 = 0.
Ngành: Toán học Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho hàm số xác định trênR2 bởi
f (x; y) =
ẵ y4
x2+ y2 nếu x2+ y2> 0 0 nếu x2+ y2= 0
Chứng minh rằng
a) f (x; y) có các đạo hàm riêng liên tục. b) fx y00(0; 0) = f00(0; 0).
Câu 2. Cho f : R ! R là ánh xạ liên tục. Đặt ẵ(x; y) = jf (x) Ă f (y)j với mọi
x; y 2 R. Chứng minh rằng
a) ẵ(x; y) là một mêtric trên R khi và chỉ khi f đơn ánh.
b) (R; ẵ) là không gian mêtric đầy đủ khi và chỉ khi f (R) là đóng trong R
với mêtric thông thường. Từ đó suy ra rằng với ẵ(x; y) = jar ctgx Ă ar ctgyj thì
(R; ẵ) là không gian mêtric không đầy đủ.
Câu 3. Chứng minh rằng không gian C[a;b] các hàm số liên tục trên [a; b] là khả ly với mêtricd(x; y) = max
t 2 [a;b]jx(t) Ă y(t)j,8x; y 2 C[a;b].
Câu 4. Cho X là không gian định chuẩn n chiềụ Chứng minh rằng không gian liên hợp XÔ là không gian định chuẩn n chiều đồng phôi tuyến tính với X.
Câu 5. Giả sử E = C[0;1] là không gian Banach với chuẩn kxk = sup
t 2 [0;1]
jx(t)j, F là không gian con của E gồm các hàm số có đạo hàm liên tục trên [0; 1]. Xét ánh xạ A : F ! E cho bởi Ăf ) = f 0.
1. Chứng minh rằng
a) K er A = AĂ 1(0) là không gian con đóng của F và A có đồ thị đóng. b) A không liên tục.
2. Nếu trên F xác định chuẩn kxk = max
t2 [0;1]jx(t)j + max
t 2 [0;1]jx0(t)j ; 8x 2 F, hãy chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tính kAk.