III. CÁC MƠ HÌNH XẾP HÀNG :
1. Cơng thức sử dụng cho các mơ hình xếp hàng
ng hoạt động của các doanh nghiệp, đặc biệt là các doanh nghiệp dịch vụ.
ợc xác định bằng các ký hie
thời g
1/λ - Thời gian trung bình giữa 2 lần khách đến
µ - Tốc độ phục vụ trung bình (số lượng trung bình khách hàng phục vụ được trong một đơn vị thời gian, tức là năng suất phục vụ)
1/µ - Thời gian trung bình cần cho dịch vụ
p - Hệ số sử dụng người phục vụ (tức là xác suất để cho hoạt động dịch vụ đang bận việc
Pn - Xác suất mà n đơn vị (khách đến) đang ở trong hệ thống. Các thơng số và số đo cho các mơ hình xếp hàng đư
äu sau :
λ - Tốc độ khách đến trung bình (số luợng khách đến trung bình trong 1 đơn vị ian, chỉ số dịng vào) ) Dịch vụ đã hồn thành Server 2 Server 1 Dịng vàoDịng xếp hàng Server 3 Server 2 Server 4 Dịch vụ đã hồn thành
Po
rung bình trong dịng xếp hàng (chiều dài trung bình của dịng xếp)
Wq - Thời gian chờ đợi trung bình trong dịng xếp hàng Ws - Thời gian chờ đợi trung bình trong hệ thống.
Thuật ngữ “trong hệ thống” được hiểu là đơn vị cĩ thể đang ở trong dịng xếp hàng hoặc đang được phục vụ. Do đĩ :
xếp hàng trước kh
. Ws là muốn nĩi tới tổng thời gian chờ đợi trong dịng xếp hàng cợng với thời gian được phục vụ.
Các cơng thức về mơ hình xếp hàng dựa trên sáu biến số sau cùng được nêu ở trên, khi các thơng số đầu vào λ và µ đã được cho.
ịnh, tức là cĩ tra
ải lớn hơn tốc độ khách đến.
Khi µ ≤λ thì hệ thống xếp hàng bất ổn định và cĩ khả năng tạo thành chiều dài xếp hàng vơ tận do số khách đến nhanh hơn số khách được phục vụ, vì thế để xét cá
I (Dịng x
- Tỷ lệ thời gian nhàn rỗi (ngừng việc) của hệ thống Po, tức là xác suất khơng cĩ một khách hàng nào trong hệ thống.
Lq - Số đơn vị t
Ls - Số đơn vị trung bình trong hệ thống.
. Wq được hiểu là thời gian chờ đợi của 1 khách hàng trong dịng i dịch vụ bắt đầu.
Các cơng thức này được lập khi hệ thống ở trong điều kiện ổn đ ïng thái cân bằng lâu dài.
Để đạt được trạng thái ổn định chỉ khi µ > λ, tức là tốc độ phục vụ ph
c mơ hình xếp hàng, ta giả định là µ > λ
2. Mơ hình ếp hàng đơn giản )
, 1
Với mơ hình này hoạt động dịch vụ chỉ cĩ một kênh pha, dịng vào theo luật Poisson thời gian phục vụ theo luật phân bố giảm dần. Đây là mơ hình được áp dụng rộng rãi nhất.
2. Dịng đến phân bố theo luật Poisson và tốc độ đến trung bình λ
4. Trật tự của dịng xếp là ai đến trước phục vụ trước
5. Các khách hàng đều chờ cho đến lượt mình được phục vụ, khơng bỏ đi.
6. Dịng khách đến là một dịng vơ tận và tuân theo luật poisson. Dựa vào các cơng thức sau đây :
P = (λ/µ) Po = 1 - (λ/µ) Pn = Po (λ/µ)n
Lq = λ2/(µ-λ).µ
Ws = 1/(µ-λ)
Mơ hình này được căn cứ vào các giả thiết sau đây : 1. Một người phục vụ và một pha
3. Thời gian phục vụ theo luật phân bố giảm dần (hàm số mũ) với tốc độ phục vụ trung bình µ.
giả thiết trên, ta cĩ các
Ls = λ/(µ-λ) Wq = λ/µ(µ-λ)
Quản trị sản xuất - 143 -
1 : Một nhân viên ngân hàng cĩ thể phục vụ khách hàng với tốc độ trung bình là 10 khách hàng/giờ ((µ = 10), tốc độ trung bình khách đến là 7 người/giờ (λ = 7).
Dịng đến tuân theo phân bố poisson và thời gian phục vụ theo phân bố số mũ. Ở trạng thái ổn định, hãy tính tốn các thơng số của hệ thống.
â hình I. λ = 7 người/giờ
µ = 10 người/giờ . Mức độ bận việc của hệ thống :
P = λ/µ = 7/10 = 0,7, tức người phục vụ cĩ thời gian bận là 70% øn rỗi của hệ thống :
1 - (7/10) = 0,3, tức là 30% thời gian khơng cĩ khách hàng trong hệ thống (xếp hàng lẫn được phục vụ)
Pn = Po(λ/µ)n = 0,3(7/10)n; với n = 1,2,3...
Với n =1 ⇒ P1 = 0,21 (Xác suất cĩ 1 khách hàng trong hệ thống) n = 2 ⇒ P2 = 0,147 (Xác suất cĩ 2 khách hàng trong hệ thống) n = 3 ⇒ P3 = 0,1029 v.v... (Xác suất cĩ 3 khách hàng trong hệ thống) . Số khách trung bình xếp trong hàng (chiều dài của dịng xếp)
Lq = λ2/µ( µ-λ) = 72/10(10-7) = 1,63 Trung bình cĩ 1,63 khách hàng sẽ cĩ trong dịng xếp hàng
. Số khách hàng trong hệ thống bằng khách xếp trong hàng cộng với khách đang được phục vụ :
Ls = λ/(µ-λ) = 7/(10 - 7) = 2,33 Trung bình cĩ 2,33 khách hàng sẽ cĩ trong hệ thống . Thời gian chờ đợi trung bình trong hàng :
Wq = λ/µ (µ-λ) = 7/(10(10-7) = 0,233 Khách hàng phải mất trung bình 0,233 giờ trong dịng xếp hàng. . Thời gian chờ đợi trung bình trong hệ thống :
Ws = 1/(µ-λ)=1/(10-7) = 0,333
Khách hàng phải mất trung bình 0,333 giờ trong hệ thống (Thời gian xếp hàng lẫn thời gian được phục vụ).
Nếu các khách hàng bỏ đi khi trước họ cĩ từ 3 người trở lên trong hệ thống thì khách hàng bị mất là :
1 - (Po + P1 + P2 + P3) = 1 - (0,3 + 0,21 + 0,147 + 0,1029) = 0,2401
Tức là trong trường hợp đã cĩ 3 người trở lên trong hệ thống thì sẽ cĩ 24% số khách hàng bị mất (bỏ đi) nếu phải chờ đợi quá lâu.
3. Mơ hình II (Mơ hình cĩ nhiều kênh, một pha) :
Ví dụ
Ta thấy : Dịng khách đến thỏa mãn các điều kiện của mo
µ>λ
. Thời gian nha λ µ) = Po = 1 - ( /
. Xác suất mà n khách hàng cĩ trong hệ thống :
Đây là hoạt động dịch vụ cĩ nhiều kênh, một pha, dịng đến poisson, thời gian phục vụ theo luật số mũ.
Gọi : S là số lượng các kênh (số kênh được mở) Trong một hệ thống xếp hàng cĩ nhiều kênh phục vụ, ta sẽ cĩ các cơng thức sử dụng như sau :
P = λ/Sµ Po n s s n n s s = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥+ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − − ∑ 1 1 1 1 0 1 1 ! ! . λ µ λ µ λ µ với Sµ > λ
Po : Xác suất để khơng cĩ khách hàng nằm trong hệ thống:
( ) Pn Po n n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ λ µ. ! Với 1 ≤ n ≤ S ( ) Pn Po s s n ⎡ λ µ/ ⎤ n s = ⎣ ⎢ ⎢ !( ) − ⎦⎥⎥ Với N ≥ S ( ) Lq Po P S P s = − λ µ/ . !(1 )2 Ls = Lq + λ/µ Wq = Lq/λ Ws = Wq + (1/µ)
Như vậy ở mơ hình này cĩ ít nhất là 2 dịch vụ viên hay các kênh giống nhau trở lên cĩ thể tiếp nhận các khách hàng. Khách hàng chỉ xếp chung 1 hàng, khách hàng đứng đầu hàng nếu thấy cĩ một dịch vụ viên nào rỗi thì sẽ vào ngay để được phục vụ. Giả định rằng năng suất phục vụ (µ) của các dịch vụ viên là như nhau. Cịn các điều kiện khác đều giống như mơ hình I. Ta hãy xem xét ví dụ sau đây :
Ví dụ 2 : Giả sử ta thêm 1 nhân viên ngân hàng nữa để phục vụ khách hàng trong ví dụ 1 thì dịch vụ sẽ được cải thiện lên bao nhiêu. Ta tính tốn các chỉ tiêu trên với S = 2 như sau :
P=7/(2x10) = 0,35 (Các dịch vụ viên đã sử dụng 35% tổng số thời gian)
( ) ( ) Po = = ⎦⎥ 1 2 2 20 0 4814, Po= 0,4814 (Xác sua P1 = 0,3369 (Xác g trong hệ thống) v.v... = ⎡ 1 2 + + − + + − ⎛ ⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎢ ⎤⎥ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ ⎡ ⎢ ⎤⎥ 1 1 1 7 7 10 1 7 λ λ µ/ λ / ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎢ µ 2! 2µ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 10⎠ át khơng cĩ khách hàng trong hệ thống) suất cĩ 1 khách hàng trong hệ thống) P2 = 0,1179 (Xác suất cĩ 2 khách hàng trong hệ thống) P3 = 0,041 (Xác suất cĩ 3 khách hàng trong hệ thống) P4 = 0,041 (Xác suất cĩ 4 khách hàn . ( ) Lq= × ⎝⎜ ⎠⎟ × 0 4814 10 0 35 , ⎛ ⎞7 2 , × − = 2! 1 0 35, 2 0 0977, . Ls = Lq + (λ/µ) = 0,0 Wq = Lq/λ = 0,0977/7 = 0,0139 So sánh 2 mơ hình I và II ta thấy : 977 + (7/10) = 0,7977 . . Ws = Wq + (1/µ) = 0,0139 + (1/10) = 0,1139
Quản trị sản xuất - 145 -
ph (ít hơn 1 phút so với mơ hình I).
Giá c
Các cách tiếp cận khác như : Giảm bớt thời gian phục vụ trung bình hay giảm ớt các dịch vụ cung cấp trong các giờ cao điểm cũng cần phải được xem xét. Trong thời hạn xếp hàng, người ta cĩ thể thay đổi sự phân bố thời gian phục vụ bằng cách loại trừ các dịch vụ mất nhiều thời gian ra.
4. Mơ hình III (Thời gian phục vụ cố định)
ải chờ trung bình cĩ 0,0139 giờ để được phục vụ
ủa dịch vụ tốt này là người phục vụ chỉ bận cĩ 35% thời gian. b
Đây là mơ hình cĩ thời gian phục vụ (dịch vụ) là một hằng số.
Mơ hình này cũng giống như mơ hình I ở trên, chỉ trừ thơng số thứ 2 thời gian phục vụ là một hằng số.
Mơ hình này thường được sử dụng trong các trường hợp như: Thiết bị rửa xe tự động, thiết bị in rửa ảnh và máy bán hàng.
Cơng thức sử dụng cho mơ hình này là :
Lq = λ2/2µ(µ-λ) (Số lượng khách hàng trung bình xếp hàng chờ)
. Thời gian trung bình 1 khách hàng phải chờ trong hàng. Wq = λ/2µ(µ-λ)
. Số khách trung bình nằm trong hệ thống Ls = Lq + (λ/µ)
. Thời gian trung bình 1 khách hàng nằm trong hệ thống Ws = Wq + (1/µ)
. P = λ/µ
Ví dụ : Cơng ty N chuyên thu mua can nhơm và chai lọ thủy tinh phế thải. Các xe tải tới đây để bốc dỡ hàng đều phải chờ trung bình mất 15 phút trước khi hàng của họ được rửa sạch. Chi phí cho thời gian lái xe và xe xếp hàng để rửa là 60 USD/giờ. Cơng ty cĩ dự định mua một thiết bị tự động để làm các việc trên với cơng suất khơng đổi là 12 xe/giờ (tức 5 phút/xe). Các xe đến tuân theo luật poisson và với chỉ số trung bình dịng đến λ = 8 xe/giờ.
Nếu đưa thiết bị mới này vào sử dụng thì chi phí bảo trì tính bình quân trên một đầu xe vào dỡ hàng là 3 USD.
Hãy tính xem cơng ty cĩ nên mua thiết bị tự động này khơng?
Giải :
- Với thiết bị hiện cĩ :
Chi phí chờ đợi/1 chuyến=1/4 giờ x 60 USD=15 USD/chuyến - Với thiết bị tự động dự định mua :
Thời gian trung bình 1 xe chờ trong hàng :
Wq = λ/2µ (µ-λ)= 8/(2 x 12)(12-8) = 1/12 giờ Chi phí chờ đợi/1 chuyến=1/12 giờ x 60USD = 5 USD/chuyến Như vậy tiết kiệm được 15USD - 5 USD = 10 USD/chuyến Vì chi phí bảo trì = 3 USD/chuyến
Do đĩ tiết kiệm rịng sẽ là : 10 USD - 3 USD = 7 USD
Kết luận: Cơng ty N nên mua thiết bị tự dộng này vì mỗi chuyến tiết điệm được tới 7 USD
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Quản trị sản xuất và dịch vụ - PGS. Đồng Thị Thanh Phương - Nhà Xuất bản Thống kê - 1996
2. Quản trị sản xuất và tác nghiệp - PTS - Đặng Minh Trang - Nhà Xuất bản Giáo dục - 1996
3. Production and Operations and Management