ghép từ các hình phẳng đã có trọng tâm
Xét một hình phẳng được ghép từ hình phẳng I và hình phẳng II khi đó ta tính trọng tâm của hình ghép như sau:
Bước 1: Chọn một hệ trục tạo độ, sau đó tính các mômen tĩnh của từng hình nhỏ đối
với hệ trục vừa chọn, và tính diện tích các hình nhỏ.
Bước 2: Tính tọa độ trọng tâm G trong hệ trục tọa độ vừa chọn theo công thức sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ; y i x i y x G G i i S S S S x y F F F F (4.26)
Trong đó: Sx i( );Sy i( ) là mômen tĩnh của hình thứ (i) với các trục Ox, Oy. F(i) là diện tích của hình thứ (i).
,
F S là diện tích và mômen tĩnh của hình tổng được ghép bởi các hình nhỏ.
Bước 3: Sau khi có trọng tâm G ta chọn hệ trục GXY song song với hệ trục ban đầu
sau đó ta lần lượt tính được các mômen quán tính của từng hình đối với hệ trục tọa độ GXY sau đó cộng lại ta có mômen quán tính của hình ghép.
Chương 5: THANH, NỘI LỰC TRONG THANH §1.Một số định nghĩa về thanh, liên kết thanh
*) Định nghĩa về thanh: Cho một hình phẳng và một đoạn đường cong trong không
gian với độ dài lớn hơn kích thước lớn nhất của hình phẳng rất nhiều. cho hình phẳng di chuyển trong không gian sao cho trọng tâm của hình phẳng luôn nằm trên đường cong và mặt phẳng chứa hình phẳng luôn vuông góc với đường cong. Khi đó hình phẳng sẽ quét nên một hình trong không gian ta gọi hình đó là thanh. Đoạn đường
cong được gọi là trục của thanh, hình phẳng trên được gọi là mặt cắt ngang của thanh. Nếu trục của thanh là một đoạn thẳng thì ta có thanh thẳng, trục thanh là đoạn cong ta có thanh cong, và trong sơ đồ tính toán thanh thường được biểu diễn bằng trục của thanh.
Nếu trong quá trình di chuyển, hình phẳng thay đổi kích thước hoặc hình dạng thì ta có được thanh với mặt cắt ngang thay đổi, còn nếu hình phẳng không thay đổi kích thước và hình dạng trong quá trình di chuyển thì ta thu được thanh với mặt cắt ngang không đổi.
*) Định nghĩa các liên kết thường gặp trong bài toán phẳng: xét trong mặt phẳng lúc này các thanh chỉ có 3 bậc tự do(2 bậc tự do tịnh tiến,1 bậc tự do quay).
+) Liên kết gối tựa đơn: là liên kết chỉ hạn chế một bậc tự do tịnh tiến của thanh
theo phương liên kết, lúc này tại liên kết xuất hiện một phản lực liên kết theo phương liên kết(hình 5.2a).
+) Liên kết gối tựa cố định: là liên kết hạn chế hai bậc tự do tịnh tiến. lúc này tại gối
tựa có 2 phản lực liên kết(hình 5.2b). (a) (b) Hình 5.1 (a) (b) Hình 5.2 (c) A B A (d)
+) Liên kết ngàm: liên kết này hạn chế toàn bộ ba bậc tự do của thanh. Xét trong
mặt phẳng tại ngàm lúc này xuất hiện ba thành phần phản lực liên kết: hai lực theo hai phương tịnh tiến và một mômen quay(hình 5.2d).
Chú ý: theo nguyên tắc tính toán thì chỉ cần ba liên kết đơn là hạn chế được các bậc tự
do của một thanh. Xem hình 4 ta thấy tuy có đủ ba liên kết đơn nhưng thanh vẫn có thể dịch chuyển.
Vậy thực tế 3 liên kết đơn đó phải được đăt đúng vị trí thì mới có thể giữ thanh cố định, và trong không gian thì ta cần 6 liên kết đơn đặt đúng vị trí để có thể giữ cố định thanh. Những trường hợp như vậy ta gọi là thanh ở trạng thái tĩnh định. Khi những liên kết đặt vào thanh là “thừa” để hạn chế các bậc tự do của thanh khi đó ta nói thanh ở trạng thái siêu tĩnh.
§2. Nội lực trong thanh
Xét một thanh chịu lực như hình 5.4. Tưởng tượng cắt thanh bởi mặt cắt α chia
thanh thành hai phần A và B. Tại mặt cắt xuất hiện các nội lực do phần A tác động lên phần phần B và ngược lại. Gọi O là trọng tâm của mặt cắt, xác định một hệ trục tọa độ Oxyz trên mặt cắt với Oz vuông góc với mặt cắt. Khi đó các thành phần nội lực xuất hiện trên mặt cắt có thể thu về O bằng một véctơ lực chính và một mômen chính.
Các thành phần hình chiếu của véctơ lực chính trên các trục tọa là: Trên trục z ký hiệu là Nz, và được gọi là thành phần lực dọc Trên trục x,y ký hiệu là Qx, Qy, và được gọi là các lực cắt. Các thành phần hình chiếu của mômen chính trên các trục tọa độ là:
Trên trục z, ký hiệu là Mz, và được gọi là thành phần mômen xoắn. Trên trục x,y ký hiệu là Mx, My, và được gọi là các mômen uốn.
Hình 5.3 P (a) Hình 5.4 (b) z y z (α) A B B
*)Quy ước dấu của các thành phần nội lực:(Hình 5.5) - Nz được quy ước có dấu dương khi chiều của nó hướng ra khỏi mặt cắt.
- Qy được quy ước có dấu dương khi ta đứng từ chiều dương của trục x nhìn thấy Qy làm quay phần đang xét theo chiều kim đồng hồ. dấu của Qx được quy ước tương tự như Qy.
- Mx,My được quy ước mang dấu dương khi nó làm căng thớ dương của phần đang xét(thớ dương là thớ nằm về chiều dương của các trục).
- Mz được quy ước là dương khi nhìn vào mặt cắt thấy có chiều thuận chiều kim đồng hồ.
Khi xét trong mặt phẳng Oyz ta chi còn quan tâm đến ba thành phần: Nz, Qy, Mx
§3. Tương quan giữa nội lực và ứng suất
Gọi plà véctơ ứng suất tại một điểm trên mặt cắt đang xét. Chiếu véctơ plên hệ trục tọa độ Oxyz ta có các thành phần ứng suất z, zx, zytổng toàn bộ các thành phần ứng suất trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt chính là các nội lực ta có: ;Q ;Q ; ; z z y zy x zx F F F x z y z z zy zx F F F N dF dF dF M y dF M x dF M x y dF (5.1)
Các biểu thức ở (5.1) cho ta mối liên hệ giữa ứng suất và nội lực.
§4. Tương quan giữa nội lực và cường độ tải trọng phân bố trong bài toán phẳng
Xét một thanh chịu lực trong mặt phẳng Oyz,trục Oz trùng với trục của thanh. Các ngoại lực tác dụng lên thanh nằm trong mặt phẳng Oyz và vuông góc với trục Oz(quy ước dấu của ngoại lực hướng lên là mang dấu dương). Tách ra một đoạn phân tố của thanh như hình 5.8.
Hình 5.6 NZ Qy>0 NZ>0 Mx>0 y z z z y y y z dz q Mx+dMx Mx Qy+dQy Qy 2 1 Hình 5.8 y z x Hình 5.7 τzx τzy ςz y z x Qy Nz Hình 5.5 Qx Mz My Mx
Đoạn phân tố thanh được giới hạn bởi hai mặt cắt (1-1) và (2-2) cách nhau một khoảng dz vô cùng bé. q là ngoại lực phân bố trên thanh, do xét dz vô cùng bé nên ta coi q phân bố đều trên đoạn thanh đang xét. Lúc này đoạn thanh có các thành phần nội lực Mxvà Qy (Nz=0 vì q vuông góc với Oz) nằm cân bằng với ngoại lực nên ta có:
Chiếu lên trục y: Qy dQy Qy qdz 0 Qy
d
q
dz (5.2)
Lấy mômen tại mặt cắt (2-2) ta có:
2 +Q 0 2 x x x y dz M M dM qdz q
Bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc cao
2 2 dz q ta có: M Q x y d dz (5.3)
Từ (5.2) và (5.3) ta rút ra: Đạo hàm của lực cắt là bằng cường độ của lực phân bố, và
đạo hàm của mômen uốn là bằng trị số của lực cắt.
Để thuận chiều dương của lực cắt như đã quy ước ta thừa nhận lực phân bố mang dấu dương khi nó hướng lên.
§5. Biểu đồ nội lực