I B= C JC =− JA KA =− KB
3.Ưng dụng của tích vơ hướng:
( )2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . cos , . . a a a a b a b a b a b a b a a b b = + + = = + + r r r r r r r CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP:
* Dạng 1. Tính tích vơ hướng của hai vt: Đưa hai vt về cùng gốc và sử dụng CT uuur uuurAB AC. = AB AC. .cosµA
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a trọng tâm G, tính: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AC BC AC AC CB AG GC GB AG. ; . ; . ; . ; .
Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng tại C cĩ AC = 9, CB = 5. Tính: BA BC AB AC CB AC CB AB. ; . ; . ; .
Bài 4. Cho tam giác ABC cĩ µA=90 ;0 Bµ =600 và AB = a. Tính: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AC CA CB CB AC CB AB AC CB. ; . ; . ; . ; .
* Dạng 2. Chứng minh một biểu thức về tích vơ hướng của hai vt: Dùng quy tắc 3 điểm trong phép cộng và trừ hoặc dùng quy tắc trung điểm uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC+ = AC AB AC CB; − =
Bài 1. Cho ∆ABC. CMR với điểm M tùy ý, ta cĩ: MA BC MB CA MC ABuuur uuur uuur uuur uuuur uuur. + . + . =0
Bài 2. Cho O là trung điểm AB và M là một điểm tùy ý. CMR: 2 2
.
MA MB OM= −OA
uuur uuur
Bài 3. Cho ∆ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. CMR: BC AD CA BE AB CFuuur uuur uuur uuur uuur uuur. + . + . =0
Bài 4. Cho ∆ABC trực tâm H và M là trung điểm BC. CMR: 1 2
.
4
MH MA= BC
uuuur uuur
* Dạng 3. Chứng minh hai vectơ vuơng gĩc: Dùng tính chất a br⊥ ⇔r a br r. =0
Bài 1. Cho ∆ABC cĩ gĩc A nhọn. Vẽ bên ngồi ∆ABC các tam giác vuơng cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M là
trung điểm BC. CMR AM ⊥ DE.
Bài 2. Cho hình chữ nhât ABCD cĩ AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung điểm AD. CMR BK ⊥ AC.
Bài 3. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm BC, D là hình chiếu vuơng gĩc của H lên AC, M là trung điểm đoạn
HD. CMR AM ⊥ BD.
Bài 4. Cho tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo AC ⊥ BD và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm AD. CMR MP ⊥ BC khi
và chỉ khi:MA MC MB MDuuur uuuur uuur uuuur. = .
* Dạng 4. Các dạng tốn sử dụng biểu thức tọa độ của tích vơ hướng.
Bài 1. Cho tam giác ABC cĩ A(1; – 2); B(2; 1); C(1; 4).
a/ Chứng tỏ ABC là một tam giác cân. Tính chu vi và diện tích.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I của ABCD.
c/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm G’ đối xứng với G qua A, B’ đối xứng với B qua C. d/ Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp O của ∆ABC. e/ Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC.
f/ Tìm tọa độ điểm M thỏa BMuuuur+2MCuuuur=3uuurAB. g/ Tính gĩc A của ∆ABC. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 2. Cho tam giác ABC cĩ A(4; 1); B(3; 2); C( 6 ; 5).
a/ Chứng tỏ ABC là một tam giác vuơng. Tính chu vi và diện tích.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I của ABCD.
c/ Tìm tọa độ điểm M là trung điểm AC, N đối xứng với M qua trọng tâm G của tam giác ABC. d/ Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp O của ∆ABC.
e/ Tìm tọa độ điểm M thỏa MCuuuur−3BCuuur=2MBuuur.
Bài 3. a/ Cho A(1; 3); B(4; 2). Tìm tọa độ điểm C cĩ tung độ = 2 sao cho ∆ABC vuơng ở C.
b/ Cho hình bình hành ABCD cĩ A(3; 2); B(4; 1); C( 1 ; 5). Tìm tọa độ D và tâm I.
Bài 4. Cho A(1; 3); B(2; – 5)
a/ Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục Ox sao cho ∆ABC cân ở C. b/ Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục Oy sao cho ∆ABC vuơng ở C. c/ Cho C(2m + 1; m – 3). Tìm m để ∆ABC cân ở B.
d/ C(3 – 2x; x + 2). Tìm x để ∆ABC vuơng ở A.
Bài 5. Cho A(5; 4); B(3; – 2). Một điểm M di động trên trục Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của MA MBuuur uuur+
Bài 6. Cho bốn điểm A(3; 4); B(4; 1); C(2; – 3); D(– 1; 6). CMR tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường trịn. Bài 7. Cho tam giác ABC cĩ A(2; 4); B(– 3; 1); C(3 ; – 1). Tìm tọa độ chân đường cao H của A lên BC.
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1 ; 3), B(–2 ; 2). Đường thẳng đi qua A, B cắt Ox tại M và cắt Oy
tại N. Tính diện tích tam giác OMN.
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2). Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho G là trọng tâm
tam giác OAB.
Bài 10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho3 điểm A(1; 2), (5; 2), (3; 2)− B − C .
b/ Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường trịn ngoại tiếp I của ∆ABC. c/ Tìm M thuộc Ox sao cho tam giác ABM cân tại M
d/ Tìm điểm D sao cho ABDC là hình bình hành
Bài 11. Cho điểm M(2; 1), hai điểm A(a; 0), B(0; b) với a, b > 0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ của A, B sao cho:
a/ Diện tích ∆OAB nhỏ nhất. b/ OA + OB nhỏ nhất c/ 2 2
1 1
OA +OB nhỏ nhất
Bài 12. Cho tam giác đều cạnh a, trọng tâm G.
a/ Tính các tích vơ hướng uuurAB.uuurACvà uuurAB.BCuuur
b/ Gọi I là điểm thỏa mãn uurIA−2uurIB+4ICuur r=0. CMR: BCIG là hình bình hành, từ đĩ tính IAuur(uuurAB+uuurAC) và uur uurIB IC. ,IB IAuur uur.
Bài 13.Cho hình bình hành ABCD. Vẽ CE ⊥ AB và CF ⊥ DB. CMR: BD BFuuur uuur. =BC2+uuur uuurBA BE.
Bài 14. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC và CD. O là tâm hình bình hành và M là một
điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng: 2(uuur uur uur uuurAB AI JA DA+ + + ) 3= DBuuur.
Bài 15. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a/ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur rAB AD BA BC CB CD DC DA. + . + . + . =0. b/ ( 2 2) ( 2 2) (1 2 2)
2
MA +MC − MB +MD = AC −BD (M là điểm tùy ý)
Bài 16. Cho ∆ABC, gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu vuơng gĩc của A lên BC. Chứng minh rằng:
a/ 2 2 2 2 2 2 BC AB −AC = AM + b/ AB2−AC2 =2BC MHuuur uuuur.
Bài 17. Cho hình vuơng ABCD cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa:
a/ 2 . 4 a MA MC= − uuur uuuur
. b/ MA MC MB MD auuur uuuur uuur uuuur. + . = 2 c/ (MA MB MC MA MCuuur uuur uuuur uuur uuuur+ + )( + ) =a2
Bài 18. Cho ∆ABC cĩ trọng tâm G. Chứng minh rằng: 1( 2 2 2)
. . .
2
GA GB GB GC GC GAuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + = − GA +GB +GC
Bài 19. Cho hình vuơng ABCD tâm O cạnh a. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta đều cĩ:
MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4 MO2 + 2a2.
Người học trị nào mà khơng định vượt thầy thì thật là đáng thương. Leonardo Da Vinci