Từ điều kiện bức của F với hệ số β > 0 hay với mọi x, x0 ∈ C, ta có
hF(x)−F(x0), x−x0i ≥ β||F(x)−F(x0)||2,
suy ra
||F(x)−F(x0)|| ≤ 1
β||x−x0||. 0||.
Từ các giả thiết C là tập compact vàĐịnh lý 3.2, mọi điểm tụ x∗ củadãy {xk}
là điểm bất động của ánh xạ nghiệm h và cũng là nghiệm của bài toán VI.
Trong Thuật toán 3.1, ta luôn có yk −h(xk), do vậy
Theo Định lý 3.2,
||xk −yk|| →0 khi k → ∞,
nên ||xk−h(xk)|| → 0 khik → ∞. 2
3.3. Kếtquả tính toán thử nghiệm
3.3.1. Mô hìnhcân bằng bán độc quyền
Ta dùng Thuật toán BFP để giải môhình cân bằng bán độc quyền. Giả sử
cho n công ty cùng sản xuất một sản phẩm và giá sản phẩm p phụ thuộc vào lượng sản phẩm σ. Ký hiệu hi(xi) là tổng chi phí của công ty thứ i cho xi
đơn vị sản phẩm. Khi đó, lợi nhuận của công ty thứ i là xip(σ)−hi(xi). Như vậy, mỗi công ty cầntìm cho mình một mức độ sảnxuất tươngthích để đạt lợi
nhuậncao nhất. Bài toán này còn đượcgọilà bài toán cân bằngthịtrường. Tập
chiến lược chơi của mọi người là
C := {x = (x1, x2, ..., xn) | 0 6 Li 6xi 6 Ui ∀i = 1,2, ..., n}, (3.34)và hàm lợi nhuận và hàm lợi nhuận fi(x1, x2, ..., xn) = xip( n X j=1 xj)−hi(xi).
Như thường lệ, ta nói rằng một điểm x∗ = (x1∗, x∗2, ..., x∗n) ∈ C là điểm cân bằng, nếu
fi(x∗1, x∗2, ..., x∗i−1, yi, x∗i+1, ..., x∗n) 6 fi(x∗1, x∗2, ..., x∗n) ∀yi ∈ [Li, Ui], ∀i = 1,2, ..., n.
Quan hệ giữa mô hình bài toán cân bằng bán độc quyền và bài toán VIP được
phát biểu qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 3.1. Một điểm x∗ là điểm cân bằng bán độc quyền khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán VIP, ở đây C được cho bởi (3.34) và
F(x) = H(x)−p(σx)−p0(σx)x,
với
Mệnh đề 3.2. Cho p : C → IR+ là một hàm lồi, khả vi liên tục 2 lần, không giảm, và hàm àτ :IR+ →IR+ được xác định bởi