§2 Otomat hữu hạn không đơn định
2.4Sự tương đương giữa otomat đơn định và otomat không đơn định
Cá định lý dưới đây sẽ cho ta thấy sự tương đương giữa otomat hữu hạn đơn định và không đơn định.
Định lý 2.1 Nếu ngôn ngữ L được đoán nhận bởi một otomat hữu hạn không đơn định thì tồn tại một otomat hữu hạn đơn định đoán nhận L.
Việc chứng minh định lý này được suy từ thuật toán đơn định hóa các otomat.
Định lý 2.2 Lớp ngôn ngữ được sinh bởi otomat hữu hạn đơn định là trùng với lớp ngôn ngữ được sinh bởi otomat hữu hạn không đơn định.
Chứng minh: Ta gọi LN là lớp ngôn ngữ sinh bởi các otomat hữu hạn không đơn định, LD là lớp ngôn ngữ sinh bởi các otomat hữu hạn đơn định, ta cần chứng minh LN = LD. Ta sẽ chứng minh hai bao hàm thức:
• LN ⊆ LD. Giả sử L là một ngôn ngữ tùy ý thuộc lớp LN, tức là tồn tại một otomat không đơn định A đoán nhận L, tức là ta có T(A) = L. Theo định lý 2.1, tồn tại một otomat đơn định M sao cho L = T(M), vậy L thuộc lớp LD, hay LN⊆ LD.
• LD⊆ LN. Giả sử L là một ngôn ngữ tùy ý thuộc lớp LD, tức là tồn tại một otomat đơn định M đoán nhận L, ta có T(M) = L. Tuy nhiên, ta luôn luôn có thể xem hàm chuyển đơn định δ(q, a) = p ∈ Q trong otomat đơn định như là một trường hợp đơn giản của hàm chuyển không đơn định δ(q, a) = {p} ∈ 2Q trong otomat không đơn định. Như vậy, một otomat đơn định có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của otomat không đơn định. Và vì thế, ngôn ngữ L nói trên có thể xem là được đoán nhận bởi otomat không đơn định. Do đó LD⊆ LN.
Từ đó ta có LD = LN. Định lý được chứng minh.