1. Phép chia modulo:
Phép chia modulo là phép chia lấy phần dư. Ví dụ: 27 mod 8 = 3, 35 mod 9 = 8. Một cách tổng quát:
1
Nếu hai số a, b có cùng số dư trong phép chia cho n thì ta nói rằng a và b là đồng dư trong phép chia modulo cho n , phép so sánh đồng dư được ký hiệu bằng dấu :
hay viết tắt là
Có thể thấy, phép toán modulo phân hoạch tập số tự nhiên N thành n lớp tương đương đồng dư ứng với các giá trị của r trong tập 1 2 3 1 . Ví dụ với n = 4 ta có 4 lớp tương đương sau:
4 8 12 16 1 5 9 13 17 2 6 1 14 18 3 7 11 15 19
2. Một số tính chất của phép modulo:
Cho a, b và n là các số nguyên, phép modulo có các tính chất: a) [ ] b) [ ] c) [ ]
3. Ước số:
Nếu (viết cách khác ) thì có nghĩa là a chia hết cho n, hay n là ước số của a.
Ước số chung lớn nhất của hai số: ký hiệu gcd(a, b) . Để tìm USCLN của hai số a, b, chúng ta có thể dùng thuật toán Euclid (xem Phụ lục 2).
4. Số nguyên tố
Một số p được gọi là số nguyên tố nếu p chỉ chia hết cho 1 và chính nó, ngoài ra không chia hết cho số nào khác từ 2 đến p 1.
5. Số nguyên tố cùng nhau
Hai số nguyên a, b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu USCLN của a và b là 1. Ký hiệu: ab. Ví dụ: 3 8, 7 9, 4 15. Hai số 20 và 15 không nguyên tố cùng nhau vì có USCLN là 5.
r
0 1 2 n 2n qn a (q+1)n
64
6. Phần tử nghịch đảo của phép nhân modulo:
Nếu hai số nguyên a và n nguyên tố cùng nhau, thì tồn tại số nguyên w sao cho:
1
Ta gọi w là phần tử nghịch đảo của a trong phép modulo cho n và ký hiệu là a-1 Ví dụ:
- n = 10, a = 7 là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó tìm được a-1 = 3 (21 1 mod 10)
a-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a-1x 7 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3
- n = 10, a = 2 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau, ta có bảng phép nhân sau:
a-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a-1x 2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
Trong bảng trên không tồn tại số a-1nào sao cho ạa-1 1 mod 10. Vậy không tồn tại phần tử nghịch đảọ
Để tính chúng ta dùng thuật toán Euclid mở rộng (xem Phụ lục 2)