Bài toán điều khiển và cơ sở toán học

Trong phần trước, mục 2.2 đã trình bày và phân tích phương pháp thay thế ước lượng hàm trạng thái trong điều khiển các hệ khả tuyến tính hóa phản hồi trạng thái (không có thành phần hệ con phi tuyến nội động học q). Sau đây luận án phân tích khả năng áp dụng phương pháp thay thế ước lượng hàm trạng thái trong điều khiển ổn định các hệ thống khả tuyến tính hóa phản hồi vào-ra có phương trình động học và đầu ra biến đổi được về dạng chuẩn tắc (2-3) với Giả thiết 2 như sau:

Giả thiết 2: Hệ (2-3) có:

1) bậc tương đối n và hệ con q π x q( , ) là ổn định đầu vào-trạng thái (ISS) với x là đầu vào;

2) f( , )x q , g( , )x q là các hàm số thực bị chặn và g( , )x q 0 với mọi ( , )x q

trong miền hợp lệ đóng   xq n d ; 3) các trạng thái ( , )x q của hệ đo được.

Bài toán đặt ra là cần điều khiển ổn định (2-3) sao cho đầu ra của hệ bám theo tín hiệu mẫu r t( ) với giả thiết r t( ) và các đạo hàm của tín hiệu mẫu đến bậc n bị chặn và đo được. Vấn đề là mặc dù hệ con q không có tác động tới đầu ra của hệ, tuy nhiên cho dù xác định được bộ điều khiển ổn định động học của hệ con tuyến tính hóa x thì vẫn có thể xảy ra q   nếu động học của hệ con (phi tuyến) q π x q( , ) không ổn định. Như vậy để giải quyết bài toán, cần thiết phải biết được đặc tính động học của hệ con phi tuyến. Nhằm đơn giản hóa tính toán mà không làm mất đi tính thực tế nên phương pháp giải trong phần này luôn giả thiết rằng hệ con phi tuyến q π x q( , ) là ổn định đầu vào-trạng thái với x là đầu vào.

Theo định nghĩa, hệ x f( , , )t x u với f: 0,     , n, m n liên tục phân đoạn (piecewise continuous) đối với t và Lipschitz cục bộ đối với x và u được gọi là ổn định đầu vào-trạng thái nếu tồn tại hàm β KL (hàm lớp KL) và

K

  (hàm lớp K) để với bất kỳ trạng thái ban đầu x0 x( )t0 và đầu vào bị chặn u( )t nào, luôn tồn tại nghiệm x( )t với mọi tt0 và thỏa mãn:

  0 0 0 ( ) ( ) , sup ( ) t t t t t t                x x u . (2-67)

Bất đẳng thức (2-67) cho thấy nếu hệ là ISS thì luôn đảm bảo rằng với bất kỳ đầu vào u( )t bị chặn nào, trạng thái x( )t của hệ cũng bị chặn. Ngoài ra khi t

tăng dần thì trạng thái x( )t sẽ bị chặn cuối (tới hạn) bởi hàm  K do khi đó

 ( ) ,t0 t t0 0

 x   và nếu u( )t hội tụ về 0 khi t  thì x( )t cũng hội tụ về

0. Một tính chất khác của hệ ISS là khi u( )t 0 thì do bất đẳng thức (2-67) rút gọn thành x( )t x0,tt0 nên suy ra hệ không cưỡng bức x f( , , )t x 0 có

gốc tọa độ là ổn định tiệm cận đều.

Các Bổ đề 13.1 và 13.2 trong [50] cho biết trong trường hợp hệ con x có thể ổn định được (dùng luật điều khiển phản hồi trạng thái) về dạng x (A bk T)x

hay ν k xT trong (2-5) được chọn sao cho (A bk T) là Hurwitz thì có thể kết luận được đặc tính ổn định đối với điểm gốc tọa độ  x q; 0 của hệ (2-3) tương ứng như sau: Gốc tọa độ của hệ (2-3) là ổn định tiệm cận nếu gốc của hệ con q π 0 q( , ) (điểm q0) ổn định tiệm cận và gốc của hệ (2-3) là ổn định tiệm cận toàn cục nếu hệ con q π x q( , ) là ổn định đầu vào-trạng thái (ISS) với

x là đầu vào. Ngoài ra các kết quả trên còn xuất phát từ tính chất của các hệ liên kết tầng (cascade) được trình bày trong [50], [51] và được tổng hợp lại như dưới đây:

1 1 2 2 : ( , , ) : ( , ) t t     q f q x x f x   (2-68)

với f1: 0,      m n m và f2: 0,     n n là liên tục phân đoạn đối với t và Lipschitz cục bộ đối với  q x; . Nếu hệ 1 – với x là đầu vào – là ổn định đầu vào-trạng thái và điểm gốc của hệ 2 là ổn định tiệm cận đều toàn cục (globally uniformly asymtotically stable) thì gốc tọa độ của hệ liên kết tầng (2-68) cũng ổn định tiệm cận đều toàn cục.

Đối với trường hợp hệ liên kết tầng tự trị (autonomous):

1 1 2 2 : ( , ) : ( , )     q f q x x f x u   (2-69)

nếu hệ 1 – với x là đầu vào – là ổn định đầu vào - trạng thái (cục bộ/toàn cục) và điểm gốc của hệ 2 là ổn định tiệm cận (cục bộ/toàn cục) thì gốc tọa độ của hệ liên kết tầng (2-69) cũng là ổn định tiệm cận (cục bộ/toàn cục).

▲ Do phương pháp xây dựng trong luận án dựa trên cơ sở lập hệ sai số thỏa mãn Giả thiết 1 với các thành phần không rõ nên có thể dùng Định lý 6.1 trong [57] để chứng minh các kết quả của luận án. Phát biểu của định lý này như sau:

Gọi E( , )t x là hệ sai số thỏa mãn Giả thiết 1. Giả thiết rằng tồn tại bộ điều khiển uv( )z và hàm Lyapunov V( )E sao cho E(E)V( )E với EK và

0

V  theo quỹ đạo (2-3) khi V Vr với mọi qd, xn và t. Nếu hệ con q π x q( , ) với đầu vào x là ổn định đầu vào-trạng thái (ISS) thì bộ điều khiển uv( )z đảm bảo rằng x và q bị chặn đều.

Lưu ý rằng nếu hệ con q là ổn định đầu vào-trạng thái (ISS) cũng có nghĩa là tồn tại hàm xác định dương Vq để: 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) V V           q q q q q q q q q q x  (2-70)

với  q1, q2K, q3,  K.

Định lý 6.1 ([57]) cho biết nếu bộ điều khiển được thiết kế để ổn định động học x thì động học q cũng sẽ ổn định nếu thỏa mãn điều kiện (2-70). Ngoài ra từ Định lý 6.1 ([57]) có thể suy ra hệ quả mạnh hơn của Định lý trong trường hợp V  kV thì E0 là điểm cân bằng ổn định theo hàm số mũ trong khi có thể q chỉ bị chặn. Lưu ý là khi x0 thì điều kiện đối với Vq trong (2-70) trở thành Vq  q3( )q với mọi q dẫn đến nghiệm của động học không

( , )



q π 0 q là ổn định tiệm cận toàn cục và hệ là pha cực tiểu (minimum phase).

Với các cơ sở toán học như đã trình bày ở trên, phần tiếp theo của luận án