Bài toán: Chọn nút i ở trung tâm của hệ trục tọa độ của toàn mạng. Nút k cũng được bản địa hóa làm láng giềng của nút i. Mỗi nút được thêm vào biết vị trí của nút k nhưng không biết vị trí của nút i.
a. Tại sao các nút láng giềng của k phải được biến đổi để phù hợp với cơ sở toàn cầu. Liệu có dễ dàng tính toán hơn nếu nút k được đặt trên hệ tọa độ y không.
b. Hãy vẽ cấu hình các nút trong đó láng giềng của k phải di chuyển nhưng không quay trong hệ trục tọa độ.
c. Hãy tìm trường hợp mà k có thể xoay nhưng không dịch chuyển.
d. Hãy tìm một trường hợp mà phép quay phép dịch và phép lấy đối xứng là cần thiết.
Bài giải:
a. Đầu tiên mỗi nút định nghĩa vị trí của mình như là trung tâm. Tại thời điểm này chỉ biết đến người hàng xóm. Nút không có ý tưởng gì về “ở trên”, “dưới”, “trái”, “phải” (hoặc là bắc, nam, đông, tây). Nó có thể được định nghĩa một cách tùy ý. Sau đó nó sẽ được chọn ngẫu nhiên bởi các nút ở trung tâm và tất cả các nút khác sẽ phải thích ứng với định nghĩa này. Biểu thức của hệ trục tọa độ có thể được chọn duy nhất hoặc một vài tham chiếu toàn cục khác.
b. Các nút A và B được định nghĩa đối với nút k. Trục của k đều cùng hướng như các trục của cơ sở toàn cầu của nút i nên chỉ dịch là được.
c. Việc dịch vị trí là không cần thiết khi mà nút i và k cùng vị trí. Trên lý thuyết điều này khó có thể xẩy ra nhưng có thể xẩy ra trong thực tế do việc ước lượng khoảng cách không chính xác.
e. Hình dưới đây là một hình minh họa một trường hợp mà phép quay phép dịch và phép lấy đối xứng là cần thiết cho việc định vị.