Trong mục này, chúng ta đưa ra một số các đặc trưng của dạng chuẩn BCNF cho sơ đồ quan hệ và quan hệ.
Định nghĩa 1.
Giả sử r là một quan hệ trên R, A, B ⊆ R và A → B.
Khi đó ta nói A là tập sinh của B nếu - |A| < |B|,
- Không tồn tại tập con thực sự của A mà xác định hàm cho B Tập C là tập sinh của quan hệ r nếu có một tập D nào đó để C là tập sinh của D.
Định lý 2.
Giả sử r là quan hệ trên R. Khi đó r là BCNF khi và chỉ khi mọi tập sinh của r đều là khóa.
Mệnh đề 3.
Cho s = < R, F > là một sơ đồ quan hệ. Đặt Fn là tập tất cả các thuộc tính thứ cấp của s.
Khi đó s là BCNF nếu và chỉ nếu ∀B ∈ Ks-1, a ∈ B : (B - a)+ = B - a.
Chứng minh:
Dễ thấy nếu s là BCNF thì (B - a)+ = B - a đối với B ∈ Ks-1 và a ∈ B.
Ngược lại, giả thiết s không là BCNF. Khi đó tồn tại A →{a}∈F+ ở đây A+
≠ R và a ∉ A. Bởi mệnh đề 4 ở mục trên, ta có B ∈ K-1 sao cho A+∉B. Rõ ràng a ∈ B và A ⊆ B - a. Từ đó, ta có (B - a)+ = B.
Định lý 4.
Giả sử r là một quan hệ trên R. Khi đó r là BCNF nếu và chỉ nếu với mọi A ∈ Mr, a ∈ A thì {A - a}r+ = A - a, ở đây Mr là hệ bằng nhau cực đại của r.
Giả sử A → B là một phụ thuộc hàm. Chúng ta gọi phụ thuộc hàm
này là tầm thường nếu B ⊆ A. Ngược lại trong trường hợp này, chúng ta
gọi nó là phụ thuộc hàm không tầm thường.
Định lý 5.
Giả sử s = < R, F >là một sơ đồ quan hệ trên R. Khi đó s là BCNF