Lý thuyết xác suất không giao hoán là nền tảng toán học của cơ học lượng tử, nó có thể coi là mở rộng tự nhiên của lý thuyết xác suất cổ điển. Trong cơ học cổ điển, với mỗi hệ hạt điểm vật lý có một đa tạp khả vi U tương ứng .Các trạng thái của hệ được biểu diễn bởi các điểm của U, và các lượng vật lý (các quan sát được ) sẽ được mô tả bởi các hàm (đo được) trên đa tạp U. Trong cơ học lượng tử, với mỗi hệ vật lý có một không gian Hilbert H tương ứng. Với hệ có số bậc tự do hữu hạn , các trạng thái hỗn hợp được cho bởi các toán tử lớp vết dương ( toán tử trù mật ) .Các quan sát được sẽ được biểu diễn bởi các toán tử tự liên hợp hoạt động trên H. Đối với hệ hạt có số bậc tự do vô hạn , người ta đồng nhất trạng thái của hệ với trạng thái ( toán học ) trên một đại số toán tử A thích hợp . Trong hầu hết trường hợp ta có thể lấy A là đại số toán tử von Neumann hoạt động trên một không gian phức
(khả ly) . Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H là một đại số von Neumann. Trường hợp cổ điển dẫn ta đến đại số von Neumann giao hoán L∞(U, Bu, µ) các hàm đo được bị chặn trên một không gian đo (U, Bu, µ) . Khi đó các hàm đo được không bị chặn sẽ được 00 gắn
00 vào L∞(U, Bu, µ) một cách tự nhiên. Độ đo µ sau khi thác triển duy nhất thành tích phân Z
U
f(dµ)
là một trạng thái chuẩn tắc đúng trên L∞. Do đó trường hợp cổ điển được coi là sườn của đại số von Neumann (giao hoán).
Đối với một không gian xác suất (Ω, F, µ) , gọi L∞(Ω, F, µ) là đại số (các lớp tương đương ) tất cả các hàm nhận giá trị phức, bị chặn cốt yếu và F− đo được trên Ω. Nó có thể coi là một đại số von Neumann giao hoán hoạt động trong L2(Ω, F, µ) nếu ta đồng nhất hàm g ∈ L∞
với toán tử nhân ag : f → f g, với f ∈ L2. Đại số A = L∞(Ω, F, µ) có trạng thái vết chuẩn đúng τµ ( cho bởi
τµ(f) =
Z
Ω f dµ
). Theo định lý Ergoroff, sự hội tụ µ− hầu chắc chắn của dãy (fn) từ A là tương đương với sự hội tụ hầu đều của nó. Tức là ta có thể phát biểu lại hội tụ hầu chắc chắn bằng chuẩn trong L∞ , trạng thái τµ và các hàm đặc trưng.
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử A là đại số von Neumann với trạng thái chuẩn tắc đúng φ. Ta nói rằng dãy (xn) các phần tử của A hội tụ hầu đều tới phần tử x ∈ A nếu với mỗi ε > 0 ,tồn tại một phép chiếu p ∈ A với φ(1−p) < ε thỏa mãn ||(xn−x)p|| → 0 khi n → ∞.
Chú ý. Định nghĩa trên không phụ thuộc vào cách chọn φ do đó hội tụ hầu đều tương đương với hai điều kiện sau:
(*) Trong mọi lân cận mạnh của đơn vị trong A , tồn tại phép chiếu p sao cho ||(xn −x)p|| → 0 , khi n→ ∞
(**) Với mỗi trạng thái chuẩn đúng φ trên A và ε, tồn tại phép chiếu p∈ A với φ(1−p) < ε thỏa mãn
Nhận xét. Nếu φ là một trạng thái chuẩn tắc đúng thì topo mạnh trong hình cầu đơn vị S trong A có thể metric hóa bởi khoảng cách
dist(x, y) = φ[(x−y)∗(x−y)]1/2