Phương trình đạo hàm riêng là một phương trình chứa hàm cần tìm của hai hoặc nhiều biến với các đạo hàm riêng theo các biến này.
Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình.
Thí dụ: 2u 2x y
x y
∂ = −
∂ ∂ là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.
Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là một hàm, nó thỏa mãn đồng nhất phương trình
Nghiệm tổng quát là nghiệm có chứa số hàm tùy ý độc lập bằng số cấp của phương trình (khác với phương trình vi phân thường, nó có nghiệm phụ thuộc vào hằng số)
Nghiệm riêng là một nghiệm có thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý
Thí dụ: bằng cách thế vào phương trình ta thấy:
2 1 2
( , ) +F(x)+G(y)2 2
u x y =x y− xy là nghiệm của PTDHR trong thí dụ trên. Nó chứa hai hàm độc lập tùy ý F(x) và G(y), vậy nó là nghiệm tổng quát. Trường hợp riêng F(x)=sin x; G(y)=2y +32 5 ta được một nghiệm riêng:
2 1 2 2 5
( , ) +sin x+2y +3 2
u x y =x y− xy
Nghiệm đặc biệt là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý.
Bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng là bài toán tìm kiếm các nghiệm của phương trình trong miền xác định nào đấy thỏa mãn các điều kiện trên biên của miền, gọi là bài toán biên. Định lý liên quan đến tồn tại và duy nhất nghiệm như vậy của bài toán gọi là định lý tồn tại và duy nhất.
Ởđây ta chỉ xét các phương trình đạo hàm tuyến tính cấp hai.
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến u(x,y) có dạng:
2 2 2 2 2 A u B u C u D u E u Fu G x x y y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.1)
trong đó A, B, …., G có thể là hàm của x,y nhưng không phụ thuộc u. Phương trình cấp hai của hàm hai biến không có dạng nêu trên thì ta gọi là hàm phi tuyến.
Nếu G = 0, phương trình gọi là thuần nhất, nếu G≠0 thì ta gọi là phương trình không thuần nhất. Điều này có thể tổng quát hóa cho phương trình cấp cao hơn.
2 4B − AC>0 – phương trình loại Hyperbolic B − AC>0 – phương trình loại Hyperbolic 2 4 B − AC<0 – phương trình loại Eliptic. 2 4 B − AC=0 – phương trình loại parabolic
PHỤ LỤC 2