Tìm miền giá trị của ( ) biết = [2,3] bằng phương pháp dạng trung tâm.
Giải Tính: = ( ) = 2.5 ; = − = − ( ) = [−0.5,0.5] Tính: ( ) = 1−5. + (1/3). = 1−5 × 2.5 + (1/3) × 2.5 =−6.2917 Tìm: ( ) = ( )− ( ) = ( − )[−5 + 1 3⁄ . ( + . + )] = . [−5 + 1 3⁄ . ( + . + )] ⇒ ( ) = . [−5 + 1 3⁄ . ( + . + )] = [−1.2917, 1.2917] Vậy: ( ) = ( ) + ( ) =−6.2917 + [−1.2917, 1.2917] = [−7.5834,−5.0000] Nhận xét
1. Nếu thay trực tiếp = [2,3] vào biểu thức ( ), ta được miền bao tự nhiên khá lớn: ( ) = [−11.3334, 0.0000].
2. Miền bao trung tâm ( ) chỉ là một miền bao “chặt hơn” của miền bao ( ), chưa phải là miền giá trị ( ) của hàm ( ). Miền giá trị của ví dụ này có kết quả là ( ) = − √ + 1,−5 = [−6.4545 … ,−5]. Như vậy, vấn đề phụ thuộc không phải là nguyên nhân duy nhất gây ra ước lượng quá mức của phương pháp khoảng.
3. Dạng trung tâm cũng chính là một dạng của định lý trung bình trong toán học.
Định lý giá trị trung bình (mean-value theorem) phát biểu như sau:
Cho hàm số ( ) và hai vector , . Tồn tại vector sao cho < < để ( ) = ( ) + ( ). ( − ) (2.29) trong đó:
( ): Jacobian của biểu thức ( ), là đạo hàm bậc nhất đối với vector và , tương ứng với ( ) trong công thức (2.25).
Hình 8: Chương trình MATLAB tính toán VD9
Do vấn đề phụ thuộc, chỉ một số luật đại số của số thực vẫn còn đúng trong cho đại số khoảng. Các luật đại số khác chỉ giữở dạng yếu hơn. Nguyên tắc chung áp dụng đối với phép toán khoảng [1] là:
Thứ nhất, hai biểu thức đại số tương đương trong đại số thực thì cũng tương đương trong đại số khoảng khi mà tất cả các biến xuất hiện chỉ một lần. Nếu
, , ∈ ℝ thì
+ = + ; = (2.30)
( + ) ± = + ( ± ); ( ) = ( ) (2.31) Thứ hai, nếu và là hai biểu thức đại số tương đương trong đại số thực thì hàm bao của khoảng có dạng ⊆ nếu các biến chỉ xuất hiện một lần trong .
( ± )⊆ ± (Luật phân bố phụ) (2.32) − ⊆( + )−( + ) (Luật giản ước phụ) (2.33)
⁄ ⊆ ⁄ (Luật giản ước phụ) (2.34) 0 ∈ − , 1 ∈ / (Luật giản ước phụ) (2.35) Vấn đề phụ thuộc làm cho luật phân bố, luật giản ước của đại số không còn phù hợp và gây nhiều khó khăn để có kết quả chính xác đối với các tính toán khoảng phức tạp. Thành công của phép tính phân tích khoảng phụ thuộc đáng kể vào việc giảm bớt sự phụ thuộc [1]. Vấn đề này ảnh hưởng trực tiếp đến các kết quả của số học khoảng của việc tính toán đạo hàm của hệ số chuỗi khoảng Taylor trong luận văn. Do đó, khi lập trình tính đạo hàm một cách tựđộng, tác giả cũng đã lưu ý đến việc xử lý sự sắp xếp của các luật đại số kể trên.
2.1.5.2 Hiệu ứng bao phủ
a. Khái niệm
Chúng ta sẽ tìm hiểu hiệu ứng bao phủ qua ví dụdưới đây:
VD10: Minh họa hiệu ứng bao phủ Xét hàm số: : ( , )→ √2 2 ( + , − ) ớ ( , ) = ([−1,1], [−1,1]) Tìm ảnh của miền giá trị ( , )trên đồ thị. Giải a) Về giá trị: ( , ) = ([−1,1], [−1,1]) = ( −√2,√2 , −√2,√2 ) b) Về hình ảnh:
Khi thay trực tiếp các giá trị ( , ) = {(−1,−1), (−1,1), (1,−1), (1,1)} vào ( , ) thì các điểm góc của 2 hình vuông sau đều thỏa mãn giá trịở a):
- Hình vuông xoay nằm trong gồm các tọa độđỉnh −√2, 0 , 0,−√2 , √2, 0 , 0,√2 - Hình vuông (không xoay) nằm ngoài gồm các tọa độđỉnh
Hình 9: Ảnh các miền bao của hàm f(x,y)
Kiểm tra bằng Monte-Carlo thấy rằng các điểm giá trị ( , ) đều nằm trong miền bao hình vuông xoay. Do đó,ảnh của miền giá trị ( , ) là hình vuông xoay.
Hình 10: Biểu đồ tọa độ f(x+y,y-x) bằng phương pháp Mote-Carlo với R=1500 (lần thử)
Như vậy, hàm nhiều biến ( ≥2) luôn tồn tại ảnh của miền giá trị là một hình hộp xoay, gọi tên là hiệu ứng bao phủ. Đây là nguyên nhân thứ hai gây ra ước lượng quá mức trong phương pháp phân tích khoảng. Nó xuất hiện khi các kết quả tính toán trung gian là các giá trị khoảng [25]. Hiệu ứng bao phủ được đề cập lần đầu tiên năm 1965 trong ấn phẩm [18] của Moore và của Lohner năm 2001 [13] khi thực hiện quan sát các kết quả trong quá trình tính toán.
Chú ý rằng ước lượng quá mức do hiệu ứng bao (diện tích miền bao ( , ) 2 x y 2.0 0 2.0 -2.0 A B C D - 2 2 - 2 f(x,y) M Q P N
bằng hai lần diện tích của miền giá trị ( , )) không phải là kết quả của sự phụ thuộc và ước lượng loại này là một vấn đề lớn trong số học khoảng khi áp dụng cho ODEs [26].
Hình 11: Hiệu ứng bao phủ với dao động điều hòa
Hình 11 thể hiện ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ của dao động điều hòa sau 5 bước thời gian liên tiếp. Nếu lấy miền bao số 1 (hình kẻ sọc bên trái phía ngoài cùng) là kết quả ban đầu thì do hiệu ứng bao phủ, miền bao số 2 bị mở rộng gấp 2 lần so với miền bao số 1 (được thể hiện bằng hình vuông ngoài cùng). Do kết quả lần trước được truyền lại cho kết quả tiếp theo nên miền bao mới thứ 3 lại tiếp tục mở rộng gấp 2 lần so với kết quảtrước đó, tức là gấp 4 lần so với kết quả số 1... Cứ như vậy miền bao lần thứ 5 đã gấp 16 lần so với miền bao thực tế ban đầu (hình gạch sọc nằm bên trong).
b. Các phương pháp giảm hiệu ứng bao
Hiện nay có rất nhiều phương pháp khác nhau để giảm ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ như: phương pháp sắp xếp lại giá trị biểu thức, phương pháp biến đổi hệ tọa độ, phương pháp elip, phương pháp zonotopes,... [13] trong đóphương pháp biến đổi tọa độ dạng trực giao gồm hai phương pháp: hình hộp và phân tách QR được nghiên cứu áp dụng trong luận văn để giảm hiệu ứng bao phủ. Với tính ổn định tốt hơn, phương pháp phân tách QR sẽđược áp dụng trong luận văn.
Sự khác biệt trong phương pháp hình hộp (parallel-piped) và phương pháp phân tách QR ở cách chọn ma trận (Xem công thức liên quan (2.62), (2.63), (2.64), (2.67), (2.68), (2.69) ởchương 2).
Đối với phương pháp hình hộp: chọn = ( ). Ma trận trong trường hợp này thường trởthành điều kiện yếu.
Đối với phương pháp phân tách QR: ta đặt = ( ) và chọn = . Phép phân tách QR có tính chất = [28] nên cho tính ổn đinh
x y 1 2 3 4 5
tốt hơn phương pháp hình hộp và cách chọn này luôn có một trục hợp với cạnh dài nhất của tập miền bao (hình 2.3)
Hình 12: Giảm hiệu ứng bao bằng cách chuyển hệ trục tọa độ
Nếu là miền bao của biến khoảng hai chiều (Hình 12a) thì miền giá trị ( ) qua phép ánh xạ 1:1 tương ứng là miền bao { . | ∈ }. Do ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ nên kết quả nhận được lúc này là miền bao . , là một hình chữ nhật lớn hơn rất nhiều so với miền bao thực tế (Hình 12b).
Hình 12c ứng với cách giảm hiệu ứng bao phủ theo phương pháp hình hộp. Theo phương pháp này, cạnh ngắn của miền bao thực tế song song với trục ′ của hệ tọa độ “trực giao hóa” ′ ′. Khi này ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ (diện tích miền bao . của hình Hình 12c nhỏhơn so với diện tích của miền bao . ở Hình 12b.
Hình 12d là hình ảnh giảm hiệu ứng bao phủtheo phương pháp phân tách . Theo phương pháp này, cạnh dài của miền bao thực tế song song với trục ′ của hệ tọa độ “trực giao hóa” ′ ′. Khi đó, hiệu ứng bao phủảnh hưởng lên miền bao thực tế là ít nhất trong các trường hợp đã nêu.
2.1.5.3 Các đặc trưng khác
Ngoài hai đặc trưng cơ bản kể trên, vấn đề tỷ lệ (scaling problem) tuyến tính với độ rộng của khoảng cũng là một đặc trưng gây ra ước lượng quá mức trong lý thuyết phân tích khoảng. Vấn đề tỷ lệ cùng vấn đề thiếu bậc (order loss) cũng ảnh hưởng đến kết quả của phương pháp mô hình Taylor [31].
Đây là vấn đề khá mới hiện nay nên trong khuôn khổ luận văn chưa kịp đề cập
x y {r|rR} x y S.R {S.r|rR} y' x' S.R x y c) y' x' S.R a) b) x y c) {S.r|rR} {S.r|rR}
đến. Xin tham khảo tài liệu của tác giả Wittig (2011) từ trang 15 đến trang 20 về vấn đề này [31].
2.2 MÔ HÌNH TAYLOR 2.2.1 Khái niệm 2.2.1 Khái niệm
Mô hình Taylor là mô hình được tạo nên từ chuỗi đại số khoảng Taylor gồm 2 thành phần: phần đa thức và phần dư (đã đề cập ởchương đầu).
2.2.2 Xây dựng mô hình Taylor
2.2.2.1 Xây dựng trực tiếp từđịnh nghĩa
Định lý Taylor [12]: Cho hàm : ∈ ⊂ → khả vi từng phần đến cấp ( + 1) của với mọi ∈ và lân cận ∈ . Tồn tại ∈ sao cho 0 < < 1
để:
( ) = 1
![( − ).∇] ( ) + 1
( + 1)![( − ).∇] [ + ( − )] (2.36)
trong đó:
: bậc lũy thừa của đa thức trong khai triển chuỗi Taylor.
: là đại lượng vector khoảng gồm biến thành phần. Trong luận văn này
= ( ; ; ; ; ) gồm = 5 biến thành phần.
: là đại lượng vector sốxác định tại một điểm lân cận của vector . : hệ số khoảng [0,1]. [ . ] là tổng các đạo hàm riêng phần của vector với = − có dạng: [ . ] = ! ! … ⋯ ,…, … … (2.37)
Trong biểu thức (2.36), số hạng đầu là phần đa thức Taylor . Số hạng thứ hai là phần dư . Vì vậy, mô hình Taylor có dạng: = + ký hiệu là
Phần dư được tính bằng cách thay trực tiếp số học khoảng hoặc bằng các phương pháp khác được đề xuất bởi Berz, Markino [15], Galen [9] ...
2.2.2.2 Xây dựng hàm số từ những hàm đơn giản
Xây dựng một thư viện mô hình Taylor từcác hàm đơn giản sử dụng lý thuyết đại số vi phân dư (remainder differential algebra, RDA) [15]. Dưới đây là mô hình Taylor của một sốhàm đơn giản như sau:
Với hàm hằng: ( ) = thì = ( , [0,0]); Với hàm đồng nhất: ( ) = thì = ( + ( − ), [0,0]). Với hàm nghịch đảo 1/ ( ): 1 ( )= 1 + ̅( )= 1 . 1 + ̅( ) =1 1− ̅( )+ ̅ ( ) − ⋯+ (−1) ̅ ( ) + (−1) ̅ ( ) 1 1 + ( )̅ (2.38)
Đối mô hình Taylor được tạo từ các hàm đơn giản, ta luôn có thể tạo ra một hằng số . Khi muốn đưa mô hình Taylor về dạng trung tâm, người ta có thể điều chỉnh hằng số này về phần dư đểthu được miền dư mới có = 0.
2.2.3 Phép toán số học trong mô hình Taylor
Cho hàm , lần lượt là mô hình Taylor của hàm ( ), ( ) trên khoảng ∈ , thì tổng + và tích . của mô hình Taylor có dạng:
± = ± = ± = , ± , = ± , ± (2.39)
× ∈ , × , = × + × + × + × (2.40)
≤ và chứa số hạng bậc cao hơn. Khi đó, phần dư của tích × sẽ là:
× = ( ) + ( ) × + ( ) × + × (2.41) Biểu thức ( ) = ( − ) biểu thị miền bao của đa thức ( − ) ∀ ∈ . Tương ứng, ( ) = ( ) + sẽ là miền bao của mô hình Taylor = ( , ).
Nếu sử dụng mô hình Taylor của các hàm đơn giản kết hợp với các phép toán ở trên, ta có thể biểu diễn được mô hình Taylor của các hàm toán phức tạp khác.
2.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ĐỐI VỚI CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU
KIỆN ĐẦU (ODEs IVP) 2.3.1 Dạng phương trình
Phương trình vi phân thường đối với bài toán điều kiện đầu là phương trình vi phân theo thời gian có dạng:
( ) = ( , ), ( ) = ∈ , ∈ Θ (2.42)
trong đó:
∶ thời gian ở thời điểm thứ của bài toán. Tương ứng , là thời gian ở thời điểm ban đầu ( = 0) và thời điểm kết thúc, ∈[ , ].
∶ là một vector trạng thái gồm hàng, phụ thuộc theo thời gian . Khi đó, là vector trạng thái ở thời điểm và là vector giá trịban đầu ở thời điểm = 0. : là vector tham số gồm hàng. Tham số có thể phụ thuộc hoặc không phụ thuộc theo thời gian .
Θ, , : tương ứng là vector khoảng giới hạn sựthay đổi giá trị của vector , và .
Giả sử hàm :ℝ × ℝ → ℝ có tất cả các đạo hàm đến cấp ( −1) theo trên tập ℝ và đến cấp (q+1) theo tham số trên tập ℝ ; trong đó, là lũy thừa của phần dư trong chuỗi Taylor khoảng và là lũy thừa của biến phụ thuộc (tham số hoặc giá trịđầu).
Hàm ởđây là hàm chứa một số lượng hữu hạn hằng số, biến, các phép tính thành phần và các hàm chuẩn tắc. Do yêu cầu khả vi, không xét các hàm có dạng
nhánh, giá trị tuyệt đối, cực trị min, max.
2.3.2 Phương pháp giải chung
Xét khoảng thời gian < < … < … < trong đó ℎ = − là bước thời gian ởbước tích phân thứ( + 1), = 0, … , −1.
Nghiệm của phương trình vi phân thường đối với điều kiện đầu = là ( , , , ). Tập tất cả các nghiệm ( , , , ) là miền bao có dạng:
, , ,Θ = { ( , , , )| ∈ , ∈ Θ} (2.43) Nghiệm cần tìm của bài toán phải thỏa mãn điều kiện:
, , ,Θ ⊆ , = 1, … , (2.44) Cách giải theo kiểu đánh giá này thường liên quan đến vấn đề ước lượng quá mức.
Hình 13: Hình ảnh nghiệm của bài toán ODEs - IVP
Để tìm nghiệm của phương trình (2.42), ta có thể sử dụng phương pháp lặp Picard-Linderlöf hoặc khai triển chuỗi Taylor theo thời gian. Trong luận văn, tác giả sử dụng khai triển theo chuỗi Taylor.
Trong khai triển chuỗi Taylor của hàm ( ), hệ số Taylor thứ định trị tại thời điểm được biểu diễn như sau:
= ( )
! (2.45)
Trong đó, ( ) là đạo hàm thứ của hàm ( ) được định trị tại thời điểm . Ta có mối quan hệ giữa hệ số Taylor kế tiếp nhaunhư sau:
= ( ) ( + 1)! = ( ) ( + 1)! = 1 ( + 1)! ( ) ! (2.46) = 1 ( + 1)!
Biều diễn theo đệ quy các số hạng Taylor của phương trình (2.42) như sau:
= [ ] , = (2.47) = [ ] , = ( , ) (2.48) = [ ] , =1 ! [ ] , , ≥2 (2.49)
Các giá trị của hệ số Taylor trên có thể được tạo ra bằng cách dùng các kỹ thuật vi phân tự động như phần mềm tadiff [3],...
Trong chuỗi Taylor khoảng, các hệ số = [ ] ,Θ với ∈ , ∈ Θ là miền bao của [ ]( , )được tính toán bằng cách thay trực tiếp số học khoảng hoặc sử dụng cá phương pháp khác như: định lý trung bình, dạng trung tâm nhằm giảm ảnh hưởng bài toán phụ thuộc.
Với cách biểu diễn dạng đệ quy (2.47), (2.48), (2.49) bài toán được giải theo phương pháp số với điều kiện đầu là .
2.3.3 Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP
Hiện nay, trên thế giới có nhiều thuật toán giải ODEs IVP sử dụng lý thuyết phân tích khoảng như: AWA [5], COSY [14] [29], VNODE [23], VSPODE [12], VNODE-LP [22],... Trải qua thời gian, các thuật toán càng về sau càng cho kết quả
(miền bao của nghiệm) tốt hơn. Theo tác giả luận văn này, thuật toán VSPODE là tương đối dễ tiếp cận và có tính cập nhật so với các thuật toán khác đồng thời trong thuật toán này có kể đến ảnh hưởng của tham số khoảng mà các tài liệu khác chưa đề cập đến. Do đề tài này có xét ảnh hưởng của tham số đặc trưng là giá trị khoảng nên thuật toán này rất phù hợp với hướng nghiên cứu ban đầu. Vì vậy luận văn sử dụng thuật toán VSPODE làm cở sở và có tham khảo thêm các tài liệu liên quan để giải quyết vấn đề đặt ra.
Bảng 2: Lịch sử phát triển các thuật toán giải ODEs IVP [21]
Phần mềm Năm Tác giả Ngôn ngữ
lập trình
Có thể sử dụng
AWA 1988 R. Lohner Pascal-XSC
ADIODES 1997 O. Stauning C++
COSY 1997 M.Berz, K. Makino Fortran
C++ interface
VNODE 2001 N. Nedialkov C++
VODESIA 2003 S. Dietrich Fortran-XSC
VSPODE 2005 Y. Lin, M. Stadther C++
ValEncIA-IVP 2005 V. Rauh, E. Auer C++
VNODE-LP 2006 N. Nedialkov C++
Cơ sở của thuật toán VSPODE của Stadtherr gồm hai giai đoạn giốngnhư các thuật toán khác nhưng có xét đến ảnh hưởng phụ thuộc của các biến tham số trong quá trình tính toán [12].
Trong giai đoạn 2, nhằm giảm ước lượng quá mức do vấn đề phụ thuộc và hiệu ứng bao phủ gây ra, bên cạnh áp dụng mô hình Taylor, thuật toán còn áp dụng thêm định lý trung bình, phương pháp phân tách QR và sử dụng dạng trung tâm trong tính toán. Tuy vậy, theo quan điểm của tác giả luận văn, trong thuật toán có
một vài điểm chưa rõ ràng gây nhầm lẫn và một chỗ viết chưa đúng làm những người quan tâm mất khá nhiều thời gian hiểu đúng vấn đề và phương hướng đúng của thuật toán đã nêu. Trong luận văn này, tác giả cũng mạnh dạn làm sáng tỏ vấn đề theo cách hiểu của mình dựa trên cơ sở thuật toán của Stadtherr [12] đưa ra.
2.3.3.1 Giai đoạn 1: Tìm miền bao sơ bộ của bài toán
Miền bao sơ bộđược tìm bằng cách chọn thử ℎ và sao cho thỏa mãn điều kiện:
= + 0,ℎ [ ]( , ) + 0,ℎ [ ]( , )⊆ (2.50)
trong đó:
: miền bao của nghiệm ( ; , , )ở thời điểm . : miền bao sơ bộ của nghiệm ở thời điểm .
: miền bao chọn trước (priori enclosure) cho điểm . Theo tác giả, có thể hiểu là miền bao “giới hạn sai số” của nghiệm cần tìm vì tại một thời điểm thì luôn là miền bao lớn nhất < < .
Để tìm mối quan hệ giữa ℎ và tối ưu sao cho ⊆ ta có thể tham khảo chương 5 của Nedialkov [20]. Do thuật toán đó tương đối phức tạp nên tác giả lựa chọn giải pháp sử dụng ℎ và ban đầu cho trước; trong đó = (1 + ) với