Mặt quét hình được định nghĩa bởi quỹ đạo quét hình đường sinh dọc theo đường chuẩn. Ta có các loại mặt lưới quét hình sau:
Mặt lưới quét hình song song.
Xét đường cong tham số g(u) và d(v) (Hình 3.3). Nếu coi 2 đường cong 3D này là sợi dây cứng ta có thể tưởng tượng mặt cong quét hình song song như mặt cong xác định bởi quỹ đạo quét hình đường sinh g(u) dọc đường chuẩn d(v):
r(u,v) = g(u) + d(v) - d(0) : 0 ≤ u,v ≤ 1 (3.1)
trong đó: d(0) là điểm đầu của đường cong dẫn hướng. Có thể mở rộng ý tưởng quét hình cho
trường hợp đường cong tham số định nghĩa bởi đỉnh điều khiển Bezier và B-spline. Đối với trường hợp Bezier bậc 3 có thể di chuyển các đỉnh điều khiển V0, V1, V2, V3 dọc theo 4 đường chuẩn d0(v), d1(v), d2(v), d3(v). Như
vậy mặt cong kết quả được biểu diễn như sau Hình 3.3. Mặt quét hình song song
68
Khi đường sinh là đường cong cônic và đường chuẩn là đường bậc 3 thì mặt cong quét hình được gọi là mặt bậc 3 cônic, được sử dụng để thiết lập mặt cong kết nối biên.
Mặt lưới quét hình tròn xoay.
Đây là dạng mặt cong được sử dụng tương đối phổ biến. Xét đường sinh s(u) trên mặt phẳng x-z (Hình 3.4a):
s(u) = d(u)i - z(u)k = (d(u), 0, z(u)) (3.3)
trong đó: i = (1, 0, 0) và k = (0, 0, 1).
Phương trình tham số mặt cong quét hình được định nghĩa bởi phép xoay tròn đường sinh (3.3) quanh trục z (Hình 3.4b) có dạng như sau:
r(u,θ) = (d(u)cosθ, d(u)sinθ, z(u)) = d(u)cosθ.i + d(u)sinθ.j + z(u).k (3.4) trong đó: d(u), z(u) là đường sinh (3.3).
Hình 3.4. Mặt quét hình tròn xoay
Mặt quét hình phi tham số.
Ta đã biết rằng mặt cong tham số r(u,v) suy biến thành mặt cong phi tham số khi x(u,v) ≡ u và y(u,v) ≡ v:
r(u,v) = {x(u,v), y(u,v), z(u,v)} ≡ {u,v,z(u,v)} ≡ (x,y,z(x,y)) (3.5) Thực tế phương trình này tương đương với z = z(x,y). Xét trường hợp mặt cong
69
quét hình song song z = z(x,y) (Hình 3.5c) được tạo bởi đường sinh z = g(x) và đường chuẩn z = d(y) (Hình 3.5a,b):
z = g(x), x [x0, x1] z = d(y), y [y0, y1]
Hình 3.5. Mặt cong quét hình phi tham số
Theo định nghĩa mặt cong quét hình song song (3.1) mặt cong quét hình tham số được xác định như sau:
z(x,y) = g(x) + d(y) - d(0) với x0 ≤ x ≤ x1; y0 ≤ y ≤ y1 (3.6) Có thể trình bày lại phương trình (3.6) dưới dạng chuẩn:
f(x,y,z) ≡ -g(x) - d(y) + z +d(0) = 0
Từ đó có thể xác định vectơ pháp tuyến N của mặt cong quét hình (3.6) như sau:
(3.7)