4 Điều kiện tối ưu cho bài toán hai cấp vô hạn
4.2 Điều kiện tối ưu cho bài toán DC vô hạn
(1) Bài toán DC vô hạn không chứa tham số
Trước tiên chúng ta xét dạng bài toán DC vô hạn không chứa tham số y là một lớp các bài toán tối ưu trong không gian Banach với các hàm mục tiêu là hiệu của hai hàm lồi (Difference of twoConvex functions– viết tắt làDC).
trong đó T là tập chỉ số tùy ý, Θ⊂ X là tập con lồi đóng của không gian Banach X; ϑ, θ, ϑt:X →R proper, lsc, lồi.
Kí hiệu tập nghiệm chấp nhận được của (4.16)
E := Θ∩ {x∈X|ϑt(x)≤0 ∀t ∈T}. (4.5) Xét không gian RT :={λ = (λt|t∈T)|λt∈R t∈T}
Không gian thực mở rộng R˜T :={λ∈RT|λt6= 0 với hữu hạn t∈T}
Nón dương trong R˜T, xác định ˜
RT+:={λ∈R˜T|λt≥0 ∀t∈T}. (4.6) Cho vectơ u∈RT và λ∈R˜T, ta kí hiệu
suppλ:={t∈T|λt6= 0}, chúng ta có tích vô hướng mở rộng λu:=X t∈T λtut= X t∈suppλ λtut.
Điều kiện định tính (CQ) sau đây đóng một vai trò rất quan trọng trong việc
thiết lập điều kiện cần tối ưu cho bài toán DC vô hạn (điều kiện tối ưu dạng KKT) tương ứng cho hàm DC ϑ−θ. Vai trò của CQ này còn đảm bảo tồn tại các công thức tính chứa các ràng buộc vô hạn.
Định nghĩa 4.2.1 ([7],ClosednessQualificationCondition =CQC) Chúng ta nói bộ ba (ϑ, ϑt,Θ) thỏa điều kiện CQC nếu tập
epiϑ∗+ conen [ t∈T epiϑ∗ t o + epiδ∗(.; Θ) là đóng yếu∗ trong không gian X∗ ×R.
Tiếp theo, ta dùng CQC này để thiết lập điều kiện cần cho bài toán DC vô hạn (4.4). Trước hết, xét tậpnhân tử ràng buộc
Định lý 4.2.1 ([16], Điều kiện cần cho bài toán DC vô hạn)
Giả sử x∈ E∩domϑ là nghiệm cực tiếu địa phương của (4.16) thỏa CQC. Khi đó ta có ∂θ(x)⊂∂ϑ(x) + [ λ∈A(x) h X t∈suppλ λt∂ϑt(x) i +N(x; Θ). (4.8) Chứng minh
Không mất tính tổng quát, giả sử x∈ domθ và ∂ θ(x)6=∅ (nếu ∂ θ(x) =∅, thì (4.8) luôn đúng). Theo công thức dưới vi phân xấp xỉ, vớiε= 0, tồn tại x∗ ∈∂ θ(x) (x∗ ∈X∗)nghĩa là
θ(x)−θ(x)≥ hx∗, x−xi ∀x∈X.
Điều này có nghĩa làx là cực tiểu địa phương cho bài toán vô hạn lồi sau: min ˜ϑ(x) :=ϑ(x)− hx∗, x−xi −θ(x)
sao cho ϑt(x)≤0, t∈T, và x∈Θ. (4.9) Bài toán (4.9) là lồi, và nghiệm x là nghiệm toàn cục của bài toán này, nghĩa là
˜
ϑ(x)≤ϑ˜(x) ∀x∈E.
Theo [6, Bổ đề 4], điều này tương đương với (0,−ϑ˜(x)∈cl∗³ epi ˜ϑ∗+ coneh [ t∈T epiϑ∗ t i + epiδ∗(.; Θ)´.
kết hợp với epi ˜ϑ∗ = (−x∗, θ(x)− hx∗, xi+ epiϑ∗ (xem cấu trúc của ϑ˜trong (4.9), ta có: (0, - ϑ˜(x) ∈ (−x∗, θ(x)− hx∗, xi) + cl∗ ³ epiϑ∗ + coneh [ t∈T epiϑ∗ t i + epiδ∗(.; Θ) ´ . (4.10) Hơn nữa, do (i) =⇒ (ii) trong Bổ đề 4.2.1, dưới giả thiết CQC, nên (4.10) tương đương với: (x∗,−ϑ˜(x)−θ(x) +hx∗, xi)∈ ³ epiϑ∗+ coneh [ t∈T epiϑ∗t i + epiδ∗(.; Θ) ´ . (4.11)
Áp dụng công thức epif∗ (xem Mục 1.3, phần (2)) vào các hàm đối ngẫu
ϑ∗, ϑ∗
t, t ∈ T và δ∗(.; Θ), sau đó thế vào (4.11) và do cấu trúc nón dương (4.6) ˜
RT
+, và lưu ý là −ϑ˜(x)−θ(x) +hx∗, xi=hx∗, xi −ϑ(x), do đó chúng ta có
ε≥0, u∗ ∈∂εϑ(x), λ∈R˜T, εt ≥0, u∗t ∈∂εtϑt(x) với t∈T, γ ≥0,
và v∗ ∈∂γ(x; Θ) thỏa mãn hệ phương trình sau
(i)x∗ =u∗+X t∈T λtu∗ t +v∗, (ii)hx∗, xi −ϑ(x) = hu∗, xi+ε−ϑ(x) +X t∈T λt[hu∗t, xi+εt−ϑt(x)] +hv∗, xi+γ−δ(x; Θ). (4.12) Xét hệ phương trình (4.12), ta thay (i) vào (ii), được
ε+X
t∈T
λtεt−X
t∈T
λtϑt(x) +γ = 0. (4.13) Mặt khác bộ ba (ε, λt, γ) là phần tử của tập nhân tử ràng buộc (4.7), nên
ε≥0, γ ≥0, λt≥0, λtϑt(x)≤0 ∀t∈T.
Kết hợp với phương trình (4.13) cho taε =γ =λtεt=λtϑt(x) = 0 ∀t ∈T,suy ra
εt= 0 t ∈suppλ. Do đó
u∗ ∈∂ϑ(x), u∗
t ∈∂ϑt(x), v∗ ∈∂δ(x; Θ) =N(x; Θ) và thay vào (i), ta có
x∗ ∈∂ϑ(x) + X
t∈suppλ
λt∂ϑt(x) +N(x; Θ) vi λtϑt(x) = 0 ∀t ∈suppλ. (4.14) Điều này suy ra (4.8). ¤
Sau đây ta tìm hiểu về bài toán DC vô hạn có chứa tham số và dưới Gradient của hàm giá trị.
(2) Bài toán DC vô hạn chứa tham số
Bài toán DC vô hạn chứa tham số là một lớp các bài toán tối ưu trong không gian Banach với các hàm mục tiêu làhiệu của hai hàm lồi (Difference of twoConvex functions– viết tắt là DC).
Chúng ta quan tâm đến các hàm giá trị cho bài toán DC chứa tham số, cho bởi
ϕ(x) := inf{f(x, y)−g(x, y)|y∈F(x)∩G(x)} (4.15) trong đó dạng hình học của các ràng buộc chứa tham số
F(x) :={y ∈Y|(x, y)∈Ω} (4.16) và các ràng buộc bất đẳng thức vô hạn
G(x) :={y∈Y|gt(x, y)≤0, t ∈T} (4.17) với T là tập chỉ số tùy ý.
Không mất tính tổng quát, ta giả thiết X, Y là không gian Banach tùy ý; các hàm
f, g, gt:X×Y →Rproper, lower semicontinuous (l.s.c) và lồi; tập Ω⊂X×Y lồi và đóng.
Lưu ý:
• Hàmϕ(.) không trơn cho dù f, g trơn (khả vi liên tục),
• Hàmϕ(.) cũng không lồi cho dù f, g lồi.
Áp dụng CQC trongĐịnh nghĩa 4.3.1cho bộ ba(ϕ, ϕt,Ω)đối với bài toán (4.15)– (4.17) epiϕ∗+ coneh [ t∈T epiϕ∗ t i + epiδ∗(.; Ω) (4.18) là đóng yếu∗ trong X∗×Y∗×R.
Ánh xạ (cực tiểu) đa trị Ψ :X ⇒Y tương ứng cho (4.15)–(4.17), là
Tập ràng buộc trong (4.16), (4.17) là
Γ := Ω∩ {(x, y)∈X×Y|gt(x, y)≤0 ∀t ∈T}, (4.20) và tập nhân tử KKT phụ thuộc vào(x, y)∈gph ΨvớiΨtrong (4.19) và vàoy∗ ∈Y∗
∧(x, y, y∗) :={λ ∈R˜+T | y∗ ∈∂yf(x, y) + X
t∈suppλ
λt∂ygt(x, y) +Ny((x, y); Ω),
λtgt(x, y) = 0 t∈suppλ}.(4.21) Tập nhân tử ràng buộc tại(x, y)
A(x, y) :={λ∈R˜T
+|λtϑt(x, y) = 0 ∀t∈suppλ}. (4.22) Bây giờ ta nêu định lý sau đây
Định lý 4.2.2 [7, Định lý 5.11](Công thức dưới gradient của hàm giá trị ϕ(.) trong bài toán DC vô hạn lồi) Xét bài toán (4.15)–(4.17) với g = 0 trong không gian Banach tùy ý, trong đó thỏa mãn các giả thiết đã nêu và ϕ(.) là lồi. Giả sử điều kiện CQC trong (4.18) thỏa và domΨ6= ∅ trong đó Ψ xác định bởi (4.19) với g = 0.
Khi đó với bất cứ (x, y) ∈ gph Ψ, dưới vi phân của ϕ(.) tại x (theo nghĩa giải tích lồi) được tính bởi
∂ϕ(x) = ½ x∗ ∈X∗|(x∗,0) ∈ ∂f(x, y) + [ λ∈A(x,y) h X t∈suppλ λt∂gt(x, y) i +N((x, y); Ω) ¾ , (4.23) trong đó A(x, y) xác định bởi (4.22). Chứng minh
Với g = 0 lúc này ϕ(x) = infy{ϕ(x, y)|y ∈ F(x)∩G(x)}, trong đó F(x), G(x) xác định bởi (4.16), (4.17), tương ứng. Không khó để suy raϕ(.) như trên, là lồi và
6
=∅ trong trường hợp g đã = 0.
Trước hết ta kiểm tra dấu ⊂. Lấy x∗ ∈∂ϕ(x), nghĩa là
Áp dụng [7, Định lý 4.1](với γ = 0, η=∞), ta có (x∗,0)∈∂ϕ(x, y) + [ λ∈A(x,y) h X t∈supp λ λt∂ϕt(x, y) i +N((x, y); Ω),
suy ra dấu⊂ trong (4.32).
Để chứng tỏ bao hàm thức ngược lại, ta lấy x∗ ∈X∗ sao cho (x∗,0)∈∂ϕ(x, y) + [ λ∈A(x,y) h X t∈supp λ λt∂ϕt(x, y) i +N((x, y); Ω), do đó ta có λ ∈ A(x, y), (u∗, v∗) ∈ ∂ϕ(x, y), (u∗ t, v∗ t) ∈ ∂ϕt(x, y), và (˜u∗,v˜∗) ∈ N((x, y); Ω) sao cho (x∗,0) = (u∗, v∗) + X t∈suppλ λt(u∗ t, v∗ t) + (˜u∗,v˜∗). (4.24) Sử dụng tập nhân tử ràng buộcA(x, y)trong (4.22) và tập chấp nhận được Λcùng với các định nghĩa về dưới vi phân (giải tích lồi) và nón pháp tuyến cho (4.24), ta có hệ sau f(x, y) - ϕ(x) =f(x, y)−f(x, y)≥ hu∗, x−xi+hv∗, y−yi, 0 ≥λtgt(x, y)−λtgt(x, y)≥λthu∗ t, x−xi+λthv∗ t, y−yi, t∈suppλ, 0 ≥ hu˜∗, x−xi+hv˜∗, y−yi ∀(x, y)∈Λ.
Kết hợp bất đẳng thức cuối, cùng với (4.24), suy ra
f(x, y) +δ((x, y); Λ)−ϕ(x)≥ hx∗, x−xi ∀(x, y)∈X×Y,
suy ra ϕ(x)−ϕ(x≥ hx∗, x−xi ∀x∈X
Do đóx∗ ∈∂ϕ(x), suy ra dấu ⊃trong (4.23). M
4.3 Điều kiện tối ưu cho bài toán hai cấp vô hạn
Trở lại bài toán hai cấp vô hạn dạng đã nêu ở đầu chương, là (4.1)–(4.3), với các giả thiết tương ứng. Thật may khi bài toán cấp dưới (4.2) là bài toán vô hạn
chứa tham số, chính xác nó là trường hợp cụ thể của bài toán DC vô hạn có dạng
(4.15)–(4.17), với g = 0 và không có mặt (4.16). Tuy nhiên, đó mới chỉ là bài toán cấp dưới, ta còn phải xét cả bài toán cấp trên nữa. Để tận dụng được lợi thế này, ta phải sử dụng thêm một điều kiện CQ nữa, mục đích là chuyển bài toán hai cấp lồi hoàn toàn (xem đầu chương 4) tương đương với bài toán DC vô hạn, mà bao gồm hàm giá trịϕ(.)lồi (4.3) đối với bài toán cấp dưới (4.2).
Áp dụng Điều kiện cần cho bài toán DC và công thức dưới vi phân của hàm giá trị
ϕ(.) để suy ra điều kiện cần cho bài toán hai cấp vô hạn.
Trước tiên, ta viết lại bài toán (4.1) thành dạng bài toántương đương (toàn cục)
min f(x, y) sao cho
f(x, y)−ϕ(x)≤0, y∈G(x) và bài toán tuyến tính dạng nhiễu với p∈R:
min F(x, y) sao cho
f(x, y)−ϕ(x) +p= 0, y∈G(x) (4.25) Nhắc lại điều kiện "Partially calm"
Ta nói bài toán (4.1) làpartially calm tại nghiệm chấp nhận được(x, y) nếu tồn tại một hằng sốa >0 và một lân cậnU của bộ ba(x, y,0)∈X×Y ×R sao cho
F(x, y)−F(x, y) +a|p| ≥0 ∀(x, y, p)∈U, chấp nhận được đối với(4.25). (4.26) Bổ đề sau đây cho thấy dưới điều kiện partially calm, thì bài toán tối ưu hai cấp vô hạn (4.1) sẽ trở thành bài toán tối ưu DC một cấp với vô hạn ràng buộc. Thực chất, để có sự tương đương hoàn toàn giữa hai loại bài toán kể trên, ta cần thêm tính liên tục của hàm cấp trên.
Bổ đề 4.3.1 [7, Bổ đề 6.1] Giả sử (x, y) là nghiệm chấp nhận được partially calm cho bài toán(4.1), với G:X ⇒Y cho bởi (4.2)và hàm cấp trên F liên tục tại điểm này.
Khi đó (x, y) là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán sau: min a−1F(x, y) +f(x, y)−ϕ(x) sao cho gt(x, y)≤0, t∈T, (4.27)
trong đó a >0 là hằng số từ điều kiện partially calm (4.26). Chứng minh
Bởi (4.1) là partially calm, ta có a > 0và lân cận U của (x, y,0)để (4.26) thỏa mãn.
Vì F liên tục tại (x, y) nên tồn tạiγ >0 và η >0 sao cho
V := [(x, y) +ηB]×(−γ, γ)⊂U
và
|F(x, y)−F(x, y)| ≤aγ với (x, y)−(x, y)∈ηB.
Điều này suy ra
F(x, y)−F(x, y) +a(f(x, y)−ϕ(x))≥0 ∀(x, y)∈[(x, y) +ηB]∩gph G,(4.28) trong đó G:X ⇒Y xác định bởi (4.2).
Thật vậy,
+ Nếu (x, y, ϕ(x)−f(x, y)∈V thì (4.26) =⇒(4.28).
+ Nếu(x, y, ϕ(x)−f(x, y)∈/ V, ta lấyf(x, y)−ϕ(x)≥γ nêna(f(x, y)−ϕ(x)≥aγ, kết hợp vớif(x, y)−f(x, y)≥ −aγ nên =⇒ (4.28).
Hiển nhiênf(x, y) = ϕ(x)(do(x, y)là nghiệm chấp nhận được của (4.1)). Mặt khác (4.28) nghĩa là (x, y)là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán DC (4.27). ¤
Định lý kế tiếp cung cấp xấp xỉ trên của dưới vi phân của hàm lồi (4.3) tại nghiệm partially calm đối với bài toán hai cấp.
Định lý 4.3.1 [7, Định lý 6.2](dưới gradient của hàm lồi ϕ(.) tại nghiệm partially calm đối với bài toán hai cấp) Giả sử (x, y) là nghiệm chấp nhận
được partially calm cho bài toán (4.1). Giả sử điều kiện CQC trong (4.18) thỏa đối với bài toán cấp dưới (4.2) và hàm cấp trên F liên tục tại (x, y).
Khi đó tồn tại hằng số a >0 sao cho
∂ϕ(x)× {0} ⊂a−1∂F(x, y) +∂f(x, y) + [ λ∈A(x,y) h X t∈suppλ λt∂gt(x, y) i (4.29)
cho hàm lồi ϕ(.) trong (4.3), trong đóA(x, y) xác định theo (4.22). Nói riêng, ta có ∂ϕ(x)⊂a−1∂xF(x, y) +∂xf(x, y) + [ λ∈A(x,y) h X t∈suppλ λt∂xgt(x, y) i (4.30) Chứng minh
Cố định(x, y) thỏa mọi giả thiết của định lý. Bổ đề 4.5.1 suy ra (x, y) là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán DC (4.27), là dạng bài toán DC vô hạn có dạng tổng quát (4.4) trong không gianX×Y với các hàm lsc, lồi. Đặt
ϑ(x, y) := a−1F(x, y) +f(x, y), θ(x, y) := ϕ(x), và ϑt(x, y) := gt(x, y)(4.31) với Θ =X×Y như trong (4.4).
Dùng cấu trúc tập chấp nhận được
E :={(x, y)∈X×Y|gt(x, y)≤0 ∀t∈T}
đối với bài toán (4.27), công thứcepi(f1+f2)∗ =cl∗((epif∗
1 + epif∗
2)(xem[Chương 1, Bổ đề 1.3.1(ii)]) nếuepif∗
1+epif∗
2 không thỏa tính yếu∗) và sử dụng CQC trong (4.18), ta có một loạt các đẳng thức sau
epi(f +δ(.;E))∗ = cl∗(epif∗+ epiδ∗(.;E)) = cl∗{epif∗+ cl∗(cone[[
t∈T epig∗ t])} = cl∗{epif∗+ (cone[[ t∈T epig∗ t])}= epif∗+ cone[[ t∈T epig∗ t].
Hơn nữa, từ Bổ đề 1.3.1(ii), áp dụng công thức (1.7) vào (4.31) với giả thiết F
liên tục tại(x, y), ta lại có epif∗+ cone[[
t∈T
epig∗t] = epi(a−1F)∗+ epif∗+ cone[[
t∈T
= epi(a−1F)∗+ epi(f +δ(.;E))∗ = epi(ϑ+δ(.;E))∗.
Điều này cho phép ta khẳng định epif∗+ cone[St∈T epig∗
t]là đóng yếu∗ trongX∗×
Y∗×R, nghĩa là CQC cho giả thiết Định lý 4.3.1 thỏa, do đó áp dụng Định lý 4.3.1 vào bài toán DC (4.27) trên, ta lưu ý các hàm trong (4.31) có
∂θ(x, y) = ∂ϕ(x)
và
∂ϑ(x, y) =∂(a−1F +f)(x, y) = a−1∂F(x, y) +∂f(x, y),
doF liên tục tại (x, y), từ (4.8) ta suy ra (4.29) còn (4.30) suy ra từ (4.39) khi lấy dưới vi phân cục bộ theox, nhờ mối quan hệ sau (xem [16, Định lý 4.1], công thức (4.11)).
f(x, y)⊂∂xf(x, y)×∂yf(x, y) và
ft(x, y)⊂∂xft(x, y)×∂yft(x, y). (4.32)
¤
Bây giờ chúng ta thiết lập kết quả chínhcủa chương này:điều kiện tối ưu cho bài toán hai cấp lồi hoàn toàn với vô hạn ràng buộc bất đẳng thức.
Định lý 4.3.2 [7, Định lý 6.3](Điều kiện cần cho bài toán hai cấp vô hạn)
Giả sử(x, y) là nghiệm tối ưu partially calm của bài toán hai cấp (4.1) thỏa các giả thiết đã nêu. Giả sử CQC trong (4.18) thỏa cho bài toán cấp dưới (4.2), hàm mục tiêu của cấp trên F liên tục tại (x, y) và hàm giá trị trong(4.3) có ∂ϕ(x)6=∅. Khi đó với mỗi y˜∈Ψ(x) với Ψ(x) xác định trong (4.19), thì tồn tại một số a > 0, và các nhân tử λ = (λt)∈R˜T +, β = (βt)∈ R˜T + với R˜T + là nón dương xác định trong (4.6) sao cho ta có hệ 0 ∈∂xF(x, y) +a[∂xf(x, y)−∂xf(x,y˜)] + X t∈suppλ λt∂xgt(x, y)
−a X t∈suppβ βt∂xgt(x,y˜), (4.33) 0 ∈∂yF(x, y) +a∂yf(x, y) + X t∈suppλ λt∂ygt(x, y), (4.34) 0 ∈∂yf(x,y˜) + X t∈suppβ βt∂ygt(x,y˜), (4.35) λtgt(x, y) = βtgt(x,y˜) = 0 ∀t∈T. (4.36) Chứng minh
Vì ∂ϕ(x)6=∅, ta lấy x∗ ∈∂ϕ(x), theo Định lý 4.3.1, tồn tạia > 0 và λ ∈R˜T
+
thỏa mãn
a(x∗,0)∈∂F(x, y) +a∂f(x, y) + X
t∈suppλ
λt∂gt(x, y) (4.37) với λtgt(x, y) = 0 ∀t ∈ suppλ. Mặt khác chọn y˜∈ Ψ(x) và sử dụng kết quả của Định lý 4.4.1, kết hợp với bao hàm thức (4.32), ta tìm được β∈R˜T
+ sao cho x∗ ∈∂xf(x,y˜) + X t∈suppβ βt∂xgt(x,y˜), 0∈∂yf(x,y˜) + X t∈suppβ βt∂ygt(x,y˜), (4.38) và βtgt(x,y˜) = 0 ∀t ∈suppβ.
Kết hợp (4.37), (4.38) với cấu trúc nón dươngR˜T
+trong (4.6), ta có hệ (4.33)–(4.36).
¤
Nếu ta thay y˜=y trong định lý trên, thì có hệ quả sau
Hệ quả 4.3.1 [7, Hệ quả 6.4](Trường hợp đặc biệt của Định lý 4.4.2) Giả sử
(x, y) là nghiệm tối ưu partially calm của bài toán hai cấp (4.1) thỏa các giả thiết của Định lý (4.4.2). Khi đó tồn tại một số a >0, và các nhân tử λ = (λt), β = (βt)∈R˜T + sao cho 0 ∈∂xF(x, y) +X t∈T [(λt−aβt)∂xgt(x, y), 0 ∈∂yF(x, y) +a∂yf(x, y) +X t∈T λt∂ygt(x, y), 0∈∂yf(x, y) +X t∈T βt∂ygt(x, y), λtgt(x, y) =βtgt(x, y) = 0 ∀t∈T
Nhận xét 4.3.1 (So sánh với các kết quả đã biết dựa trên điều kiện tối ưu cho bài toán lồi hoàn toàn ở chương 3)
So sánh Định lý 4.3.2 chương 4 và Định lý 3.2.2 chương 3, vấn đề " thiết lập điều kiện tối ưu cần cho bài toán lồi" (vô hạn và hữu hạn, tương ứng). Cả hai đều suy ra 4 kết quả tương tự nhau, dưới các giả thiết có khác nhau: điều kiện partially calm, CQC so với điều kiện chính quy, Ψ(.) bị chặn đều (nghĩa là nửa compac trong (inner semicopactness)); như vậy trong Định lý 4.3.2 không cần giả thiết nửa compac trong.
Việc chọny˜=y đối với Định lý 3.2.2, cần phải có thêm giả thiếtnửa liên tục trong
(inner semicontinuity) của Ψ(.) tại nghiệm tối ưu (x, y), trong khi điều này không cần trong Hệ quả 4.3.1của Định lý 4.3.2.
Cuối cùng là giả thiếttrơn của Định lý 3.2.3, trong khi giả thiết này cũng không cần trong cả Định lý 4.3.2 và Hệ quả 4.3.1 của nó. Mà chúng ta dùng các kỹ thuật khác, khác với [12].
Cuối cùng ta tìm hiểu mộtbài toán hai cấp lồi đơn giản.
4.4 Điều kiện cần và đủ cho bài toán hai cấp lồi
đơn giản
Xét lớp bài toán hai cấp lồi đơn giản (Simple Convex Bilvel Problem) (SCBP) minf(x) sao cho x∈S,
trong đó S cho bởi
S = argmin{h(x)|x∈Θ}
trong đó f, hlà các hàm thực, lồi trên Rn và Θ là tập con lồi trong Rn. Cũng như các hàm giá trị của bài toán cấp dưới phần trên, ta suy raS là tập lồi và do đó bài toán (SCBP) là bài toán lồi. Chúng ta gọi nó là bài toán tối ưu hai cấp lồi đơn giản. Xem cụ thể bài toán này trong [11].
Giả sử S là tập khác rỗng và đặt α = inf
x∈Θh, thì bài toán (SCBP) tương đương với bài toán một cấp sau
(RP) min f(x) sao cho h(x)≤α, x∈Θ
Câu hỏi đặt ra là liệu chúng ta có thể thiết lập được điều kiện tối ưu cả cần và đủ cho bài toán (SCBP) hay không.
Trước hết ta xét
(1) Bài toán tối ưu nón–lồi
Xét lớp các bài toán nón-lồi (Cone-convex Problem), (xem [11]). (CCP) min ϑ(x) sao cho g(x)∈ −D, x∈C
trong đó ϑ:Rn→R làproper, lồi, lsc và g :Rn→Rm là ánh xạ D–lồi liên tục với
D là nón lồi đóng trongRm và C là tập con trong Rn lồi và đóng. Nhắc lại một số khái niệm. Nón pháp của C tại x là
NC(x) = {u∈Rn| hu, y−xi ≤0 ∀y∈C},
khi x∈C và NC(x) =∅, trường hợp khác. Đặt A :={x∈C|g(x)∈ −D}. Nón đối ngẫu dương của D, kí hiệu D+ (có thể xem cụ thể ở chương 1)
D+:={s∗ ∈Rm| hs∗, si ≥0, ∀s∈D}.
Định nghĩa 4.4.1 [11, Định nghĩa 3.1](Farkas–Minkowski constraint qualification, viết tắt (FMCQ)) Ta nói bài toán (CCP) thỏa (FMCQ), nếu nón
K := cone[ [
λ∈D+
epi(λ h)∗] +epi δ∗
C. (4.39)
là đóng trong Rn×R.
Định nghĩa 4.4.2 (Closedness conditions constraint qualification, viết tắt(CCCQ)) Ta nói bài toán (CCP) thỏa (CCCQ), nếu
epiϑ∗+K (4.40)
Nhận xét 4.4.1 [6] Ta đã biết nếu f liên tục tại ít nhất một điểm thuộc A, thì epi(f +δA)∗ = cl∗(epif∗ + epiδ∗
A) = epif∗+ epiδ∗
A= epif∗+ cl∗K.
Vì thế nếu (FMCQ) thỏa (nghĩa là K đóng), thì (CCCQ) thỏa.
Định lý 4.4.1 [9](Điều kiện tối ưu cần và đủ cho bài toán (CCP)) Giả sử bài toán (CCP) thỏa (CCCQ). Thế thì x∈A∩ domϑ là một nghiệm (toàn cục) của
(CCP) khi và chỉ khi tồn tại λ∈D+ sao cho
0∈∂ϑ(x) +∂(λg)(x) +NC(x) (4.41)
λg(x) = 0. (4.42)
(2) Áp dụng vào bài toán hai cấp
Xét bài toán (SCBP), và bài toán tương đương (RP) như sau minf(x) sao cho h(x)−α≤0, x∈Θ.
vớiα = inf
x∈Θh, giả sửαhữu hạn, nghĩa là α <∞Rõ ràng điều kiện chính quy Slater (xem chương 1) không thỏa cho (RP). Bây giờ ta đưa ra điều kiện chính quy khác và thiết lập điều kiện tối ưu cần và đủ cho (RP).
Định lý 4.4.2 [11](Điều kiện tối ưu cần và đủ cho (RP)) Giả sử bài toán
(RP) thỏa cone [(0, α) + epih∗] + epiδ∗
Θ là đóng. Thế thì x∈ Θ là nghiệm toàn cục của (RP) khi và chỉ khi tồn tại λ∈ + sao cho
0∈∂f(x) +λ∂h(x) +NΘ(x) (4.43)
λ(h(x−α) = 0. (4.44) Chứng minh
Trước tiên ta nhận thấy (RP) là có dạng của (CCP) tương ứng vớiD=D+=R+ và C = Θ. Thứ hai, với mỗi u∗ ∈Rm,
Suy ra
epi(h(.)−α)∗ = (0, α) + epih∗.
Vì
cone[(0, α) + epih∗] + epiδ∗
Θ
là đóng, nên (FMCQ) thỏa suy ra (CCCQ) thỏa dof liên tục (xem Nhận xét 4.4.1) Theo Định lý 4.4.1, ta có tồn tại λ ∈R+ sao cho
0∈∂f(x) +λ∂[h(.)−α](x) +NΘ(x) (4.45)
λ[h(x)−α] = 0. (4.46) Vì ∂[h(.)−α](x) = (x)nên (4.45) suy ra (4.43), còn (4.46) chính là (4.44).