Logic đề xuất lă tập của câc đề xuất, trong đó mỗi đề xuất lă một phât biểu mă nội dung của nó có thể lă đúng hoặc lă sai .
Cú phâp của logic đề xuất gồm có ký hiệu chđn lý, ký hiệu đề xuất vă tóan tử logic.
+ Ký hiệu chđn lyù : Ký hiệu chđn lý lă hai chữ câi in hoa T vă F, trong đó T xâc
định nội dung của phât biểu lă đúng vă F xâc định nội dung của phât biểu lă sai.
+ Ký hiệu đề xuất : Ký hiệu đề xuất lă câc chữ câi in hoa như A, B, C, D, …. được
sử dụng để biểu diễn đề xuất.
+ Tóan tử logic : Tóan tử logic gồm có câc lọai tóan tư như :
- ∧ : tóan tử logic liín từ vă.
- ∨ : tóan tử logic giới từ hoặc.
- ¬ : tóan tử logic phủ định.
- → : Tóan tử logic kĩo nếu.
- ↔ : tóan tử logic tương đương nếu vă chỉ nếu.
+ Cđu đề xuất : Cđu đề xuất được định nghĩa như sau :
- Mọi ký hiệu đề xuất vă ký hiệu chđn lý lă một cđu. Ví dụ điển hình lă T, F, Q, P, hoặc R lă một cđu.
- Phủ định của một cđu lă một cđu. Ví dụ điển hình lă ¬P lă một cđu.
- Tóan tử kết nối liín từ vă của hai cđu lă một cđu. Ví dụ điển hình lă P∧Q lă một cđu.
- Tóan tử kết nối giới từ hoặc của hai cđu lă một cđu. Ví dụ điển hình lă P∨Q lă một cđu.
- Tóan tử kĩo theo của một cđu cho một cđu khâc lă một cđu. Ví dụ điển hình lă P→Q lă một cđu.
- Sự tương của hai cđu lă một cđu. Ví dụ điển hình lă P∨Q = R lă một cđu. Tất cả câc cđu hợp lệ được xem như lă câc công thức dạng hòan thiện (WFFs).
- Ở biểu thức dạng P∨Q, trong P vă Q được gọi lă câc giới từ.
- Ở biểu thức dạng P→Q, trong đó P được gọi lă tiền điều kiện vă Q được gọi lă kết luận.
Trong cđu logic đề xuất, câc ký hiệu ( ) vă [ ] được sử dụng để nhóm câc biểu thức con trong cđu.
Ví dụ : Cho công thức ( (P∧Q) →R) = ¬P∨¬Q∨R đó lă một dạng cđu hòan thiện,
bởi vì :
- P, Q vă R lă câc đề xuất vă vì thế chúng lă câc cđu hòan thiện.
- P∧Q lă liín từ của hai cđu vă vì thế nó lă một cđu hòan thiện.
- (P∧Q) →R lă kĩo theo của một cđu cho một cđu khâc vă vì thế nó lă một cđu.
- ¬P vă ¬Q lă phủ đinh của cđu vă vì thế chúng lă cđu.
- ¬P∨¬Q lă giới từ của hai cđu vă vì thế nó lă một cđu hòan thiện.
- ¬P∨¬Q∨R lă giới từ của hai cđu vă vì thế nó cũng lă một cđu hòan thiện.
- ( (P∧Q) →R) = ¬P∨¬Q∨R lă sự tương của hai cđu vă vì thế nó lă một cđu hòan thiện.
+ Ngữ nghĩa của logic đề xuất : Ngữ nghĩa của logic đề xuất đó chính lă giâ trị
chđn lý của câc ký hiệu đề xuất. Giâ trị chđn lý đúng của một đề xuất được ký hiệu lă T vă giâ trị chđn lý sai của một đề xuất được ký hiệu lă F.
- Giâ trị chđn lý của phủ định ¬, ¬P lă F nếu P lă T vă ¬P lă T nếu P lă F.
- Giâ trị chđn lý của liín từ ∧ , lă T chỉ khi năo giâ trị chđn lý của cả hai thănh phần của nó lă T; mặt khâc giâ trị chđn lý của nó lă F.
- Giâ trị chđn lý của giới từ ∨ , lă F chỉ khi năo giâ trị chđn lý của cả hai thănh phần của nó lă F; mặt khâc giâ trị chđn lý của nó lă T.
- Giâ trị chđn lý của phĩp kĩo theo →, lă F nếu giâ trị chđn lý của vế tiền điều kiện lă T vă giâ trị chđn lý của vế kết luận lă F; mặt khâc giâ trị chđn lý của nó lă T.
- Giâ trị chđn lý của phĩp tương đương ↔, lă T chỉ khi năo hai thănh phần của nó lă có cùng giâ trị chđn lý; mặt khâc giâ trị chđn lý của nó lă F. Cho P, Q vă R lă câc biểu thức đề xuất, câc biểu thức sau đđy lă câc biểu thức logic tương đương :
- Luật de Morgan : ¬(P∨Q) = (¬P∧¬Q).
- Luật de Morgan : ¬(P∧Q) = (¬P∨¬Q).
- Luật phđn bố : P∨(Q∧R) = (P∨Q)∧(P∨R).
- Luật phđn bố : P∧(Q∨R) = (P∧Q)∨(P∧R).
- Luật giao hóan : (P ∧Q) = (Q ∧P).
- Luật giao hóan : (P∨Q) = (Q∨P).
- Luật kết hợp : ((P∧Q)∧R)) = (P∧(Q∧R)).
- Luật kết hợp : ((P∨Q)∨R)) = (P∨(Q∨R)).
- Luật tương phản : (P→Q) = (¬Q→¬P).
Hai biểu thức logic được gọi lă tương đương khi câc giâ trị chđn lý của chúng lă giống nhau.