1. Cho f(x)= e-x x ,với x0=0 (điểm ban đầu)
5.1.4 Vectơ riêng, trị riêng và các dạng toàn phương của ma trận
Cho A là ma trận vuông cấp n; số được gọi là trị riêng và vectơ khác không X là vectơ riêng của A nếu chúng thỏa mãn điều kiện:
A.X = .X hay (A-E).X = 0 => A.E =0, Ta tìm được phương trình bậc n cho , sao cho: f() = 0.
f() được gọi là đa thức đặc trưng của A có n trị riêng 1, 2,.., n . Tập hợp 1, 2,.., n được gọi là phổ và maxi (i ) là bán kính phổ của ma trận A.
Với mỗi i có vô số Xi. Các vectơ riêng cùng tương ứng với một i rõ ràng là phụ thuộc tuyến tính và chỉ khác nhau một hằng số . Do đó ta có thể chọn một vectơ duy nhất làm cơ sở. Tập hợp n vectơ riêng, ứng với n trị riêng khác nhau tạo thành một hệ vectơ độc lập tuyến tính. Ma trận gồm các cột là các vectơ riêng của ma trận A, gọi là ma trận dạng riêng của A.
Định lý:
Nếu A là ma trận thực, đối xứng thì các trị riêng là thực. Các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau là các vectơ thực trực giao và độc lập tuyến tính.
Nếu A là ma trận xác định dương thì các giá trị riêng là những số dương.
Định lý Sylvester:
Nếu định thức A và tất cả các tử thức nằm trên đường chéo chính đều là dương thì A là xác định dương.
Tổng quát hơn, khái nịêm xác định dương của ma trận A được định nghĩa nhờ dạng toàn phương là đa thức: Q(X) = XT.A.X
Nếu Q xác định dương, tức Q(X) > 0 với mọi số thực X và Q(X) = 0 khi và chỉ khi X=0, thì A được gọi là xác định dương.