V. Phƣơng pháp nghiên cứu
2. Thực nghiệm sƣ phạm
2.1.1 Một số bài toán tiềm ẩn các yếu tố của lý thuyết đồ thị
Trong chương trình toán và trong một số các chuyên đề bồi dưỡng HS ở trường trung học phổ thông chuyên, học sinh đã gặp nhiều bài toán tiềm ẩn các yếu tố của lý thuyết đồ thị. Ví dụ:
Ví dụ 1
Một cuộc họp có ít nhất 3 đại biểu. Khi đến họp mỗi đại biểu đã bắt tay ít nhất 2 đại biểu đến dự họp. Chứng minh rằng ta luôn có thể xếp 1 số đại biểu ngồi xung quanh 1 bàn tròn để mỗi người ngồi giữa 2 người mà anh (chị) ta đã bắt tay.
Ví dụ 2
Có 10 đội bóng thi đấu với nhau mỗi đội phải đấu 1 trận với các đội khác. Chứng minh rằng vào bất kỳ lúc nào cũng có 2 đội đã đấu được một số trận như nhau.
Ví dụ 3
Một nhóm gồm 5 thành viên trong đó mỗi bộ ba đều có 2 người quen nhau và 2 người không quen nhau. Chứng minh rằng có thể xếp cả nhóm ngồi xung quanh 1 bàn tròn để mỗi người ngồi giữa 2 người mà thành viên đó quen.
Ví dụ 4
Trong phòng có n người (n 3) mỗi người quen với ít nhất 2 người khác. Chứng minh rằng có thể chọn ra một số người để xếp ngồi quanh một bàn tròn sao cho mỗi người đều ngồi giữa 2 người quen.
Ví dụ 5
Có 6 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt với nhau (mỗi đội phải đấu 1 trận với 5 đội khác). Chứng minh rằng vào bất kỳ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau rồi hoặc chưa đấu với nhau trận nào.
Ví dụ 6
Cho 5 số nguyên dương tuỳ ý, mà cứ 3 số bất kỳ đều có 2 số có ước chung và 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có thể ghi 5 số trên một đường tròn, để mỗi số đều đứng giữa 2 số mà nó có ước chung.
Ví dụ 7
Chứng minh rằng trong 6 góc nhọn bao giờ cũng tìm được 3 góc A, B, C sao cho các tổng A+B, A+C, B+C đồng thời lớn hơn 900 hoặc đồng thời không lớn hơn 900.
Ví dụ 8
Cho n mặt phẳng phân biệt đôi một, phân biệt cắt nhau, trong đó không có 3 mặt phẳng nào cùng thuộc một chùm.
Hãy tìm số giao tuyến của các cặp mặt phẳng.
Ví dụ 9
Chứng minh rằng trong 6 số nguyên dương khác nhau tuỳ ý luôn luôn chọn được 2 số có ước chung hoặc nguyên tố cùng nhau.
2.1.2. Quy trình chuyển đổi từ bài toán thông thƣờng sang ngôn ngữ lý thuyết đồ thị
Với các dạng bài toán trên (2.1.1) ngoài cách giải thông thường đã biết thì có thể vận dụng lý thuyết đồ thị để giải quyết các bài toán. Để sử dụng được kiến thức lý thuyết đồ thị để giải thì công việc đầu tiên là phải chuyển đổi được bài tập này sang ngôn ngữ lý thuyết đồ thị. Sau đó đưa ra dấu hiệu nhận dạng các bài toán có thể vận dụng lý thuyết đồ thị để giải quyết.
2.1.2.1. Dấu hiệu chung
Không phải bất kỳ một bài toán nào ta cũng có thể vận dụng lý thuyết đồ thị để giải điều đó còn tùy thuộc vào các yếu tố cho của bài toán. Vấn đề đặt ra là đứng trước một bài toán ta phải xác định được bài toán này có thể khai thác kiến thức của lý thuyết đồ thị để giải quyết hay không?
Một đồ thị luôn xác định với 2 yếu tố đó là đỉnh và cạnh. Như vậy muốn áp dụng đồ thị để giải bất kỳ một bài toán nào ta cũng phải xác định xem liệu bài toán có thể chuyển được về một đồ thị hay không? (Hay nói cách khác ta phải chuyển bài toán sang cách biểu diễn mới là đồ thị). Giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động nhận dạng ra các yếu tố của lý thuyết đồ thị tiềm ẩn trong bài toán. Cụ thể:
Yếu tố nào của bài toán sẽ là đỉnh của đồ thị Yếu tố nào sẽ là cạnh của đồ thị?
Nếu xác định được thì ta sẽ nghĩ tới phương án áp dụng lý thuyết đồ thị để giải bài toán này?
Qua nghiên cứu ta thấy yếu tố được xác định trong đồ thị thường như sau:
+Đỉnh tương ứng với các đối tượng +Cạnh tương ứng với các quan hệ
Vậy nếu học sinh nhận dạng được trong bài toán hàm chứa 2 yếu tố các đối tượng và các quan hệ giữa chúng thì có thể sẽ đưa về mô hình đồ thị được. Mấu chốt của vấn đề là ở chỗ giáo viên giúp học sinh nhận dạng và định hướng 1 bài toán có thể áp dụng lý thuyết đồ thị để giải hay không?
Ví dụ 11:
Ta xét ví dụ 3 (2.1.1).
Một nhóm gồm 5 thành viên trong đó mỗi bộ ba đều có 2 người quen nhau và 2 người không quen nhau. Chứng minh rằng có thể xếp cả nhóm ngồi
xung quanh 1 bàn tròn để mỗi người ngồi giữa 2 người mà thành viên đó quen.
Nhận xét: Với bài toán trên, nếu không biết lý thuyết đồ thị thì sẽ thực hiện giải nó như thế nào?
Với các yếu tố của bài toán đã cho ta nhận thấy số người đối tượng là hữu hạn do đó số khả năng xảy ra cũng là hữu hạn. Vì vậy ta có thể xét lần lượt hết các khả năng có thể xảy ra bằng lý thuyết tổ hợp.
Tuy nhiên vấn đề đặt ra là ở đây chỉ có 5 đối tượng ta có thể liệt kê được còn nếu số đối tượng nhiều hơn thì sẽ gặp khó khăn. Khó khăn về cách thực hiện có thể bỏ sót các trường hợp dẫn đến kết quả thiếu chính xác.
Từ đó ta có thể nghĩ đến một phương pháp giải khác để có thể khắc phục nhược điểm trên đó là áp dụng lý thuyết đồ thị để giải.
Giải:
Xác định hai yếu tố theo dấu hiệu chung từ đó ta xây dựng đồ thị mô tả lại bài toán theo ngôn ngữ lý thuyết đồ thị.
- Đối tượng trong bài toán là thành viên tương ứng đỉnh của đồ thị. Có 5 thành viên tương ứng với 5 đỉnh của đồ thị. Dùng tên các thành viên để ghi tên các đỉnh tương ứng.
- Quan hệ tương ứng giữa các đỉnh là cạnh của đồ thị. Trong bài toán này quan hệ ở đây có 2 mối quan hệ giữa các thành viên: quen nhau hoặc không quen nhau. Ta quy ước như sau:
+ Cạnh nét liền để nối giữa 2 đỉnh tương ứng với 2 người quen nhau. + Cạnh nét chấm để nối giữa 2 đỉnh tương ứng với 2 người không quen nhau.
Vậy ta có bài toán tương ứng bằng ngôn ngữ lý thuyết đồ thị như sau: Cho đồ thị G với 5 đỉnh, các cạnh được nối bởi cạnh nét liền và cạnh nét đứt sao cho không có “tam giác nào có các cạnh cùng loại”. Chứng minh rằng
luôn có hình 5 cạnh với các cạnh cùng loại và các đường chéo được vẽ khác loại.
Ở đây “tam giác có các cạnh cùng loại” được hiểu theo nghĩa tam giác được tạo bởi 3 đỉnh và các cạnh của tam giác được vẽ cùng loại hoặc nét đứt hoặc nét liền.
Đồ thị G là đa giác 5 cạnh với các cạnh nét đứt và các đường chéo là nét liền hoặc ngược lại. Khi đó dựa theo đường gấp khúc khép kín nét đứt mà sắp xếp các thành viên tương ứng ngồi xung quanh 1 bàn tròn, thì mỗi thành viên sẽ ngồi giữa 2 người mà thành viên có quen (H24).
Phân tích bài toán:
Bài toán có chứa hai mối quan hệ là quen và không quen. Coi 5 người là 5 đỉnh A, B, C, D, E của một đồ thị, hai người quen nhau tương ứng với cạnh nối hai đỉnh được vẽ bằng nét liền và hai người không quen nhau tương ứng với cạnh nối hai đỉnh được vẽ bằng nét đứt.
Do giữa 3 người bất kỳ luôn tìm được hai người quen nhau và hai người không quen nhau suy ra không có tam giác nào có 3 cạnh cùng loại. Khi đó chuyển về bài toán đồ thị màu: Cho đồ thị đầy đủ 5 đỉnh và các cạnh trong đó không có tam giác nào có 3 cạnh cùng loại. Chứng minh có một chu trình Euler trong đồ thị đó. B C D E A H24
Ta chứng minh như sau:
Trước hết ta chứng minh mỗi đỉnh là đầu mút của đúng hai cạnh cùng loại.
Thật vậy, xét đỉnh A bất kỳ, A có bậc là 4 suy ra A là đầu mút của ít nhất hai cạnh cùng loại.
Giả sử A là đầu mút của 2 cạnh nét liền AB, AC suy ra BC nét đứt. Giả sử AD nét liền khi đó DC nét đứt suy ra nếu BD nét liền thì tam giác ABD có 3 cạnh nét liền, nếu BD nét đứt thì tam giác BCD có các cạnh nét đứt, cả hai trường hợp đều trái với giả thiết . Vậy AD nét đứt.
Giả sử AB, AC nét liền suy ra BC nét đứt và giả sử BD nét liền khi đó nếu DC nét liền thì EC, EA, EB, ED đều nét đứt (vô lý). Vậy BC nét đứt, lại có AD nét đứt, BC nét đứt suy ra CE nét liền, DE nét liền. Vậy ta được cách xếp 5 người thành một vòng tròn như hình H24.
2.1.2.2 Dấu hiệu nhận dạng bài tập có thể sử dụng đồ thị có hƣớng
Từ dấu hiệu chung ta có nhận xét sau:
Trong thực tế chúng ta hay gặp những mối quan hệ giữa các đối tượng như A thắng B, A giỏi hơn B, A nhanh hơn B…Những quan hệ này theo kiểu một chiều nghĩa là A thắng B thì không thể suy ra B thắng A được. Vì vậy khi gặp những bài toán có mối những quan hệ một chiều như vậy ta nghĩ ngay tới việc liệu có thể chuyển bài toán đó về bài toán đồ thị có hướng và từ đó sử dụng những tính chất của đồ thị có hướng mà ta đã biết hay không? Nếu được thì bài toán sẽ trở nên dễ hiểu và việc giải quyết yêu cầu bài toán sẽ dễ dàng hơn.
Ví dụ 12
Có 5 đội bóng chuyền thi đấu với nhau để tranh giải cúp quốc gia. Biết rằng hai đội chỉ đấu với nhau đúng một trận và mỗi đội phải đấu với đúng 4 đội khác, đồng thời không có trận hòa.
Chứng tỏ rằng căn cứ vào kết quả thi đấu có thể xếp đội trưởng các đội đứng theo một hàng dọc để đội đứng sau thắng đội đứng ngay trước.
Nhận xét:
Một cách giải thông thường ở phổ thông hay sử dụng để giải bài tập dạng trên đó là: lập bảng trạng thái vì có thể xét hữu hạn các khả năng.
Nhưng khi số đối tượng lớn thì khó khăn nếu ta cũng xét hét các khả năng như vậy. Vậy ta cũng lại đi tìm một phương pháp giải khác cho phù hợp đó là áp dụng lý thuyết đồ thị để giải
Ta sẽ chỉ ra 2 yếu tố:
Đối tượng và quan hệ tương ứng với đỉnh và cạnh của đồ thị. Đối tượng: các đội bóng.
Quan hệ: thắng thua.
Vì ở đây có quan hệ một chiều do đó ta sử dụng đồ thị có hướng để biểu diễn.
Coi mỗi đội bóng là một đỉnh của đồ thị, mũi tên nối hai đỉnh biểu thị mối quan hệ từ đội thắng sang đội thua, khi đó ta được một đồ thị có hướng. Do mỗi đội phải đấu với 4 đội khác và không có trận hòa nên được một đồ thị đầy đủ có hướng với 5 đỉnh. Như vậy việc “xếp đội trưởng các đội đứng theo một hàng dọc để đội đứng sau thắng đội đứng ngay trước” tương đương với một chu trình Hamilton trong đồ thị xây dựng ở trên.
Bài toán đã cho trở thành bài toán đồ thị như sau: “ Cho đồ thị đầy đủ có hướng với 5 đỉnh, chứng minh rằng có thể tìm được một chu trình Hamilton trong đồ thị đó”
Áp dụng định lý của lý thuyết đồ thị: “ Trong đồ thị có hướng đầy đủ luôn luôn có đường Hamilton”, sẽ tìm được lời giải bài toán (H25).
A B C D E A 0 + + + + B - 0 - - - C - + 0 + - D - + - 0 - E - + + + 0 Từ đó ta có đồ thị:
Kết quả của bài toán như sau:
A → E → C → D → B E D C B A H26 E D C B A H25
2.1.2.3 Dấu hiệu nhận dạng bài tập có thể sử dụng đồ thị màu
Với bài toán trong đó có chứa những mối quan hệ đối lập nhau giữa các đối tượng như: “quen và không quen”, “nói cùng thứ tiếng và khác thứ tiếng”, “có đường đi và không có đường đi”, đồng thời yêu cầu của bài toán thường là chứng minh có ít nhất 3 đối tượng có cùng mối quan hệ hoặc sẽ tạo thành một vòng tròn. Ta liên hệ tới đồ thị có cạnh được tô màu và giải bài toán bằng đồ thị với các cạnh (đỉnh) được tô màu.
Ví dụ 13:
Chứng minh rằng trong 6 góc nhọn bao giờ cũng tìm được 3 góc A, B, C sao cho các tổng A+B, A+C, B+C đồng thời lớn hơn 900 hoặc đồng thời không lớn hơn 900.
Nhận xét:
Ở phổ thông học sinh biết và vận dụng lý thuyết về tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800, hiệu hai góc nhỏ hơn hai góc còn lại...Tuy nhiên để vận dụng các lý thuyết đó để xét các trường hợp đối với bài toán này là khó vì liệt kê hết các khả năng có thể dẫn đến bỏ sót, lời giải không hoàn chỉnh hoặc sai. Vì vậy ta cũng nghĩ tới áp dụng phương pháp khác để giải bài toán đó là dựa vào lý thuyết đồ thị.
Giải:
Ta xác định hai yếu tố: Đối tượng tương ứng là đỉnh của đồ thị và quan hệ là cạnh của đồ thị.
Đối tượng ở đây là các góc, quan hệ tổng hai góc lớn hơn 900 hay tổng hai góc nhỏ hơn 900 .
Ta thấy trong bài toán có hai mối quan hệ trái ngược nhau đó là: tổng hai góc lớn hơn 900 hay tổng hai góc nhỏ hơn 900 . Vì vậy ta sẽ áp dụng giải bài toán bằng đồ thị với các cạnh được tô màu.
Cạnh của đồ thị được xác định: Nếu tổng hai góc lớn hơn 900 thì cạnh nối 2 đỉnh tương ứng nối bằng nét liền, ngược lại tô bằng nét đứt.
Ta phải chứng minh trong đồ thị G xây dựng như trên luôn có một tam giác có 3 cạnh cùng dạng. (Ở đây tam giác được hiểu theo nghĩa thông thường là hình được nối 3 đỉnh tương ứng bởi 3 cạnh. Tam giác có các cạnh cùng loại là tam giác có 3 cạnh cùng là nét liền hoặc là nét đứt với cách xác định ở trên).
Thật vậy, mỗi đỉnh của đồ thị là đầu mút của 5 cạnh, vì mỗi cạnh có thể là nét đứt hoặc nét liền nên mỗi đỉnh của G phải là đầu mút của ít nhất 3 cạnh cùng dạng.
Giả sử đỉnh A là đầu mút của 3 cạnh nét liền AB, AC, AD.
Xét 3 cạnh BC, BD, CD:
- Nếu có ít nhất 1 cạnh nét liền, thí dụ là BD thì ∆ABC có các cạnh cùng là nét liền.
- Nếu không có cạnh nào là nét liền, tức là cả 3 cạnh nét đứt thì ∆BCD là tam giác có 3 cạnh cùng dạng.
Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có một tam giác có các cạnh cùng loại. Tuy nhiên tùy mối quan hệ trong từng bài đã cho mà xác định đầy đủ và chính xác tương ứng giữa các đỉnh (hoặc các cạnh) khi chuyển về bài toán đồ thị màu. Chẳng hạn với mối quan hệ A quen B, B quen C thì chưa chắc A
D C B A D C B A D C B A H26
đã quen C nên khi đó nếu tô màu đỏ biểu thị mối quan hệ quen biết thì AB đỏ, BC đỏ nhưng chưa chắc AC đỏ. Nhưng nếu A nói cùng thứ tiếng α với B, B nói cùng thứ tiếng α với C thì suy ra A nói cùng thứ tiếng α với C. Tức nếu AB đỏ, BC đỏ suy ra AC đỏ.
2.2. Các phƣơng án vận dụng lý thuyết đồ thị trong dạy học giải bài tập 2.2.1 Vai trò và định hƣớng của dạy học giải bài tập