§2 Máy Turing phổ dụng Mởđầu
3.4. Định lý 3.3 Tồn tại một ngôn ngữ đệ quy đếm được nhưng không đệ quy.
Chứng minh: Xét ngôn ngữ T(U) được đoán nhận bởi máy Turing U. Khi đó T(U) là đệ quy
đếm được.
Giả sử T(U) là đệ quy. Điều này có nghĩa là tồn tại một máy Turing M (không đòi hỏi là trùng với U) sao cho T(M) = T(U) và sẽ dừng sau một số hữu hạn bước dưới tác động của mọi từ trên bảng chữ vào. Ta xây dựng máy Turing M’ như sau:
Giả sửω là một từ trên bảng chữ vào của M’. Trước hết M’ cho mã [ω] của ω, đồng thời trên cơ sở sắp xếp các từ trên bảng chữ vào tìm chỉ số i của ω (số thứ tự của ω trong dãy là i). Tiếp theo ứng với các chỉ số i, máy Turing M’ thiết lập sự mô tả mã của máy Turing thứ
i trong dãy các máy Turing M1, M2, …Cuối cùng M thiết lập sự mô tả chuẩn của từωi và Mi, <Miωi>. M’ bắt chước sự hoạt động của máy Turing M với từ <Miωi> mà theo giả thiết nó tồn tại, đoán nhận ngôn ngữ T(U) và dừng sau một số hữu hạn bước đối với mọi từ trên bảng chữ
vào. Nếu M kết thúc sự hoạt động với trạng thái không kết thúc thì khi đó M’ chuyển sang một trạng thái kết thúc riêng và dừng. Nếu M dừng ở trạng thái kết thúc thì M’ bắt đầu bắt chước sự hoạt động của máy Turing mà nó không dừng với mọi từ của bảng chữ vào.
Rõ ràng rằng máy Turing M’ đoán nhận từ ω = ωi khi và chỉ khi không đoán nhận <Miωi>. Ta biết rằng T(M) = T(U) ={<Miϕ> | ϕ∈T(Mi)}. Đồng thời mọi máy Turing đều có mặt trong dãy M1, M2, … và do đó M’ cũng nằm trong dãy này, có nghĩa là tồn tại một số tự
nhiên h sao cho M’= Mh.
Bây giờ ta xem máy Turing M1 hoạt động như thế nào với từ ω1. Ta nhận được
ω1∈T(M’) khi và chỉ khi ω1∈T(M1). Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy T(U) không đệ
quy.
Hệ quả 3.1 Tồn tại một ngôn ngữ hình thức nhưng không đệ quy đếm được.
Chứng minh: Như trong chứng minh của Định lý 4.3.4, T(U) là đệ quy đếm được nhưng không đệ quy. Do đó theo Định lý 4.3.3, phần bù của T(U) là không đệ quy đếm được.
3.5. Định lý 3.4 Một ngôn ngữ hình thức là loại 0 khi và chỉ khi nó là đệ quy đếm được. Điều này có nghĩa là lớp ngôn ngữ hình thức loại 0 chính là lớp ngôn ngữđệ quy đếm được.