TRONG PHÂN TÍCH HỆ THỐNG
Lê Vũ Hà
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITrường Đại học Công nghệ Trường Đại học Công nghệ
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace của một tín hiệu x(t) được định nghĩa như sau:
X(s) =
Z +∞−∞ −∞
x(t)e−stdt
với s là một biến phức: s = σ +jω. Biến đổi Laplace nghịch:
x(t) = 1
j2π
Z σ+j∞
σ−j∞
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Miền hội tụ của biến đổi Laplace
Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace là một
vùng trong mặt phẳng s sao cho với các giá trị
của s trong miền này thì biến đổi Laplace hội tụ.
Ví dụ:
Miền hội tụ của biến đổi Laplace của tín hiệuu(t)là nửa bên phải trụcjω của mặt phẳngs.
Miền hội tụ của biến đổi Laplace của tín hiệu
x(t) = −u(−t)là nửa bên trái trụcjω của mặt phẳng
s.
Hai tín hiệu khác nhau có thể có biến đổi Laplace giống nhau, nhưng khi đó miền hội tụ của chúng phải khác nhau.
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Miền hội tụ của biến đổi Laplace
Miền hội tụ của biến đổi Laplace chỉ phụ thuộc
vào phần thực của biến s.
Miền hội tụ của biến đổi Laplace phải không chứa các trị cực.
Nếu một tín hiệu có độ dài hữu hạn và tồn tại ít
nhất một giá trị của s để biến đổi Laplace của
tín hiệu đó hội tụ thì miền hội tụ của biến đổi
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Miền hội tụ của biến đổi Laplace (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu một tín hiệu thuận có miền hội tụ của biến
đổi Laplace chứa đường σ = σ0 thì miền hội tụ
đó phải chứa toàn bộ phần bên phải σ0 trong
mặt phẳng s.
Nếu một tín hiệu nghịch có miền hội tụ của biến
đổi Laplace chứa đường σ = σ0 thì miền hội tụ
đó phải chứa toàn bộ phần bên trái σ0 trong mặt
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace
Tính tuyến tính:
L[αx1(t) +βx2(t)] = αL[x1(t)] +βL[x2(t)]
với miền hội tụ chứa ROC[X1(s)]T
ROC[X2(s)]. Dịch thời gian:
L[x(t −t0)] =e−st0X(s)
với miền hội tụ là ROC[X(s)].
Dịch trong miền s:
L[es0tx(t)] =X(s−s0)
với miền hội tụ là ROC[X(s)] dịch đi một khoảng bằng s0.
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace
Co giãn trục thời gian: L[x(αt)] = 1
|a|X
s a
với miền hội tụ là ROC[X(s)] bị co giãn với hệ số α. Đạo hàm: L dx(t) dt = sX(s)
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace Tích phân: L Z t −∞ x(τ)dτ = 1 sX(s)
với miền hội tụ chứa ROC[X(s)]T
{σ > 0}. Biến đổi Laplace của tích chập:
L[x1(t)∗x2(t)] =X1(s)X(s)
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Các tính chất của biến đổi Laplace
Định lý về giá trị khởi đầu: nếu x(t) là một tín hiệu nhân quả và liên tục tại t = 0, ta có
x(0) = lim (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
s→∞sX(s)
Định lý về giá trị cuối: nếu x(t) là một tín hiệu nhân quả và liên tục tại t = 0, ta có
lim
t→∞x(t) = lim
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch
Phương pháp khai triển phân thức tối giản
Không giảm tổng quát, giả sử X(s) được biểu
diễn dưới dạng phân thức N(s)/D(s), ở đó N(s)
và D(s) là các đa thức với bậc của N(s) ≤ bậc của D(s).
Giả sử {spk} là các trị cực củaX(s): {spk} là các
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch
Phương pháp khai triển phân thức tối giản (tiếp)
Nếu tất cả {spk}đều là các trị cực đơn, X(s)
khai triển được thành tổng của các phân thức ở dạng tối giản:
X(s) =X
k
Ak s−spk
ở đó, các hệ số {Ak} được tính như sau:
Ak = (s−spk)X(s)|s=s
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch
Phương pháp khai triển phân thức tối giản (tiếp)
Trường hợp tổng quát (cực bội): đặt mk là bậc
bội của trị cực spk, X(s) sẽ được khai triển như sau X(s) = X k mk X m=1 Akm (s−spk)s
ở đó, các hệ số {Akm} được tính như sau:
Akm = 1 (mk −m)! dmk−m(s−spk)mkX(s) dsmk−m s=spk
Biến Đổi Laplace của Tín Hiệu Tính biến đổi Laplace nghịch
Biến đổi Fourier nghịch của các phân thức tối giản
L−1 1 s−α = eαtu(t) (σ > α) −eαtu(−t) (σ < α) L−1 1 (s−α)n = tn−1 (n−1)!eαtu(t) (σ > α) −(nt−n−1)!1 eαtu(−t) (σ < α)
Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Định nghĩa hàm chuyển
Xem xét một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(t), nghĩa là: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
y(t) = h(t)∗x(t)
Lấy biến đổi Laplace của cả hai vế của phương trình trên và áp dụng tính chất biến đổi Laplace của tích chập:
Y(s) = H(s)X(s) → H(s) = Y(s)
X(s)
Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Định nghĩa hàm chuyển
Một hệ thống tuyến tính bất biến biểu diễn được bằng một phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng với dạng tổng quát như sau:
NX X i=0 aid iy(t) dti = M X j=0 bjd jx(t) dtj
Lấy biến đổi Laplace của cả hai vế của phương trình trên, ta thu được:
NX X aisiY(s) = M X bjsjX(s)
Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Định nghĩa hàm chuyển
Hàm chuyển của hệ thống khi đó được xác định như sau: H(s) = Y(s) X(s) = PM j=0bjsj PN i=0aisi
Hàm chuyển cho phép xác định hệ thống, dựa trên việc giải phương trình vi phân tuyến tính bằng biến đổi Laplace và biến đổi Laplace nghịch:
Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Hàm chuyển của các hệ thống ghép nối
Ghép nối tiếp hai hệ thống:
Hàm chuyển tổng hợp H(s) =H1(s)∗H2(s)
Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Hàm chuyển của các hệ thống ghép nối
Hệ thống với phản hồi âm:
Hàm chuyển tổng hợp
Hàm Chuyển (Truyền) của Hệ thống Tuyến Tính Bất Biến Hàm chuyển của các hệ thống ghép nối
Hệ thống với phản hồi dương:
Hàm chuyển tổng hợp
Biến Đổi Laplace Một Phía Định nghĩa biến đổi Laplace một phía
Biến đổi Laplace một phía cho tín hiệu x(t)
được định nghĩa như sau:
X1(s) =L1[x(t)] = Z ∞
0
x(t)e−stdt
Nếu x(t) là tín hiệu nhân quả: biến đổi Laplace một phía và hai phía của x(t) là như nhau.
Biến Đổi Laplace Một Phía Các tính chất của biến đổi Laplace một phía
Phần lớn các tính chất của biến đổi Laplace một phía giống với biến đổi hai phía. Khác biệt cơ bản là tính chất của đạo hàm: L dx(t) dt = sX(s)−X(0) L d2x(t) dt2 = s2X(s)−sX(0)− dX(s) ds s=0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Áp dụng: giải phương trình vi phân tuyến tính có