(3.54)
Thế năng của hệ electron
8 8 4 6 8
O1 O2
Ti e ee eN
i = 1 j = 1 i j i = 1 iTi i = 5 iO1 i = 7 iO2 j i λ λ λ 1 1 V V V 2 r r r r r ∧ ∧ ∧ ≠ = + = + − − − − ∑∑ ∑ ∑ ∑ (3.55) Thế năng positron O1 O2 Ti p pN
pTi pO1 pO2
λ λ λ V V r r r ∧ ∧ = = + + (3.56)
Thế năng tương tác giữa electron và positron
8 e-p i = 1 ip 1 V r ∧ =−∑ (3.57)
Thế năng của hạt nhân
Ti O1 Ti O2 O1 O2 N NN 2 2 1 2 1 2 λ λ λ λ λ λ 1 1 1 V V 2 d 2 d 2 d +d ∧ ∧ = = + + (3.58) Vậy thế năng của hệ electron và positron là:
e p e-p NN V V∧ = ∧ +V∧ +V∧ +V∧
(3.59)
3.3.3 Năng lượng tổng của hệ electron và positron
( ) 8 2 2 i i p p i = 1 E=∑ 2K −F +2K −F V+ (3.60)
trong đó:
i p i p K , K , F , F , V
được lấy lần lượt từ các công thức (3.39), (3.48), (3.43), (3.51), (3.59).
CHƯƠNG 4
KẾT QUẢ TÍNH TOÁN
4.1. Biến phân Monte Carlo để tìm bộ tham số tối ưu trong hàm sóng
Chương trình tính toán được viết bằng ngôn ngữ lập trình C++. Số cấu hình không gian là 300, số bước Monte Carlo là 3000 cho mỗi electron và mỗi positron. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ electron và positron có chứa các tham số: λO, λTi , α, β, λpTi, λpO , α’, β’ . Ta thực hiện phương pháp biến phân để tìm bộ tham số này cho trạng thái cơ bản của hệ.
4.1.1. Biến phân theo λO
Ta biến phân λO trong khoảng từ 3,0 đến 7,0 với bước nhảy là 0,2, kết quả thu được như trong bảng 4.1.1.
Bảng 4.1: Giá trị năng lượng theo tham số λO
λO <E>(a.u) λO <E>(a.u) λO <E>(a.u)
3 -43.5963 4.4 -70.6229 5.8 -72.5763 3.2 -49.5583 4.6 -72.6632 6 -73.1754 3.4 -53.7787 4.8 -74.247 6.2 -71.5716 3.6 -57.9685 5 -74.7169 6.4 -73.4149 3.8 -62.1606 5.2 -74.5924 6.6 -71.7951 4 -65.7031 5.4 -73.5647 6.8 -70.5053 4.2 -68.609 5.6 -73.0647 7 -70.2837
Từ số liệu trong bảng 4.1 ta vẽ dạng đồ thị của <E>theo tham số λOnhư trong hình 4.1:
Hình 4.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λO.
Từ đồ thị trên hình 4.1 ta thấy <E> nhận giá trị cực tiểu tại λO = 5,0. Vậy ta chọn λO = 5,0 là giá trị tối ưu. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4.1.2. Biến phân theo λTi
Ta biến phân λTi trong khoảng từ 3,0 đến 7,0 với bước nhảy là 0,2, kết quả thu được như trong bảng 4.2.
Bảng 4.2: Giá trị năng lượng theo tham số λTi
λO <E>(a.u) λO <E>(a.u) λO <E>(a.u)
4 -68.6836 5.4 -99.1207 6.8 -96.5295 4.2 -76.8851 5.6 -99.7635 7 -96.6911 4.4 -84.9081 5.8 -99.047 7.2 -97.1096 4.6 -90.2533 6 -98.0875 7.4 -96.5937 4.8 -93.1568 6.2 -97.6825 7.6 -96.7636 5 -95.9081 6.4 -97.4508 7.8 -96.7541 5.2 -98.0137 6.6 -97.3394 8 -96.7219
Từ số liệu trong bảng 4.2 ta vẽ dạng đồ thị của <E>theo tham số λTi như trong hình 4.2:
Hình 4.2: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λTi.
Từ đồ thị trên hình 4.2 ta thấy <E> nhận giá trị cực tiểu tại λTi = 5,6. Vậy ta chọn λTi = 5,6 là giá trị tối ưu.
4.1.3. Biến phân theo β
Ta biến phân β trong khoảng từ 0,0 đến 0,4 với bước nhảy là 0,02, kết quả thu được như trong bảng 4.3.
Bảng 4.3: Giá trị năng lượng theo tham số β
β <E>(a.u) β <E>(a.u) β <E>(a.u)
0 -102.062 0.14 -102.259 0.28 -101.988 0.02 -102.318 0.16 -102.364 0.3 -101.98 0.04 -101.986 0.18 -101.926 0.32 -102.099 0.06 -101.853 0.2 -101.738 0.34 -102.142 0.08 -102.311 0.22 -101.807 0.36 -101.544 0.1 -102.227 0.24 -101.872 0.38 -101.887
0.12 -102.252 0.26 -101.867 0.4 -102.033
Từ số liệu trong bảng 4.3 ta vẽ dạng đồ thị của <E>theo tham số β như trong hình 4.3:
Hình 4.3: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số β.
Từ đồ thị trên hình 4.3 ta thấy <E> nhận giá trị cực tiểu tại β = 0,16 . Vậy ta chọn β = 0,16 là giá trị tối ưu.
4.1.4. Biến phân theo α
Ta biến phân α trong khoảng từ 0,0 đến 1,0 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.4.
Bảng 4.4: Giá trị năng lượng theo tham số α
ZO <E>(a.u) ZO <E>(a.u) ZO <E>(a.u)
0 -97.8168 0.35 -99.2892 0.7 -99.169 0.05 -98.4151 0.4 -99.2624 0.75 -99.698 0.1 -98.7495 0.45 -99.3242 0.8 -99.5278 0.15 -99.1249 0.5 -99.5526 0.85 -99.5661 0.2 -99.4916 0.55 -99.744 0.9 -99.4591 0.25 -99.272 0.6 -99.5999 0.95 -99.4933 0.3 -99.5627 0.65 -99.4609 1 -99.5097
Từ số liệu trong bảng 4.4 ta vẽ dạng đồ thị của <E>theo tham số α như trong hình 4.4:
Hình 4.4: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số α.
Từ đồ thị trên hình 4.4 ta thấy <E> nhận giá trị cực tiểu tại α = 0,55. Vậy ta chọn α = 0,55 là giá trị tối ưu
4.1.5. Biến phân theo λpTi
Ta biến phân λpTi trong khoảng từ 1,5 đến 2,5 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.5.
Bảng 4.5: Giá trị năng lượng theo tham số λpTi
λpTi <E>(a.u) λpTi <E>(a.u) λpTi <E>(a.u)
1.5 -99.2571 1.85 -99.4709 2.2 -99.5703 1.55 -99.5258 1.9 -99.8357 2.25 -99.4639 1.6 -99.4216 1.95 -99.7314 2.3 -99.7107 1.65 -99.6295 2 -99.5775 2.35 -99.4168 1.7 -99.4927 2.05 -99.4937 2.4 -99.6347 1.75 -99.463 2.1 -99.5119 2.45 -99.3365 1.8 -99.5221 2.15 -99.332 2.5 -99.2843 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từ số liệu trong bảng 4.5 ta vẽ dạng đồ thị của <E> theo tham số λpTinhư trong hình 4.5:
Hình 4.5: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λpTi.
Từ đồ thị trên hình 4.5 ta thấy <E> nhận giá trị cực tiểu tại λpTi = 1,9. Vậy ta chọn λpTi
= 1,9 là giá trị tối ưu.
4.1.6. Biến phân theo λpO
Ta biến phân λpO trong khoảng từ 0,0 đến 1,0 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.6.
Bảng 4.6: Giá trị năng lượng theo tham số λpO
λpO <E>(a.u) λpO <E>(a.u) λpO <E>(a.u)
0 -99.5884 0.35 -99.4133 0.7 -99.5455
0.05 -99.4928 0.4 -99.6748 0.75 -99.395
0.15 -99.3244 0.5 -99.2662 0.85 -99.6164
0.2 -99.5661 0.55 -99.3561 0.9 -99.4544
0.25 -99.4677 0.6 -99.447 0.95 -99.4972
0.3 -99.7171 0.65 -99.7041 1 -99.3816
Từ số liệu trong bảng 4.6 ta vẽ dạng đồ thị của <E>theo tham số λpOnhư trong hình 4.6:
Hình 4.6: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số λpO.
Từ đồ thị trên hình 4.6 ta thấy <E> nhận giá trị cực tiểu tại λpO = 0,3 . Vậy ta chọn λpO = 0,3 là giá trị tối ưu.
4.1.7. Biến phân theo β’
Ta biến phân β’ trong khoảng từ 0,0 đến 1,0 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.7.
Bảng 4.7: Giá trị năng lượng theo tham số β’
β' <E>(a.u) β’ <E>(a.u) β’ <E>(a.u)
0 -94.8242 0.35 -94.1475 0.7 -93.5422 0.05 -93.5985 0.4 -94.5762 0.75 -94.6592 0.1 -95.1772 0.45 -94.0858 0.8 -94.4454 0.15 -94.2434 0.5 -94.7904 0.85 -94.4142 0.2 -94.0003 0.55 -93.4661 0.9 -94.2171 0.25 -93.2066 0.6 -94.1381 0.95 -94.451 0.3 -94.826 0.65 -94.8748 1 -94.2727
Từ số liệu trong bảng 4.7 ta vẽ dạng đồ thị của <E>theo tham số β như trong hình 4.7:
Hình 4.7: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số β’.
Từ đồ thị trên hình 4.7 ta thấy <E> nhận giá trị cực tiểu tại β’ = 0,1 . Vậy ta chọn β’ = 0,1 là giá trị tối ưu.
4.1.8. Biến phân theo α’
Ta biến phân α’ trong khoảng từ 1,0 đến 2,0 với bước nhảy là 0,05, kết quả thu được như trong bảng 4.8.
Bảng 4.8: Giá trị năng lượng theo tham số α’
α' <E>(a.u) α’ <E>(a.u) α’ <E>(a.u)
1 -94.2953 1.35 -94.0006 1.7 -93.9954 1.05 -95.3019 1.4 -94.1229 1.75 -94.4479 1.1 -94.3671 1.45 -94.7557 1.8 -94.0695 1.15 -94.3152 1.5 -94.1255 1.85 -93.4916 1.2 -94.4329 1.55 -94.2771 1.9 -94.2005 1.25 -93.7065 1.6 -94.4576 1.95 -95.0538 1.3 -94.0944 1.65 -94.918 2 -93.7189 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từ số liệu trong bảng 4.8 ta vẽ dạng đồ thị của <E> theo tham số α’ như trong hình 4.8:
Hình 4.8: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng <E> của hệ electron và positron trong phân tử TiO2 theo tham số α’.
Từ đồ thị trên hình 4.8 ta thấy <E> nhận giá trị cực tiểu tại α’ = 1,05. Vậy ta chọn α’ = 1,05 là giá trị tối ưu.
Vậy, khi positron đi vào phân tử TiO2, ta áp dụng phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử với công cụ tính toán là ngôn ngữ lập trình C++ sau khi thực hiện biến phân các tham số với số lần di chuyển cấu hình là 300 và số bước Monte Carlo là 3000 lần, ta nhận được bộ giá trị tối ưu của các tham số được liệt kê trong bảng 4.9:
Bảng 4.9: Giá trị các tham số tối ưu
λO λTi α β λpTi λpO α’ β’
5,0 5.6 0,55 0.16 1.9 0.3 1,05 0.1
4.2. Các giá trị hàm tương quan g(r).
Với bộ tham số tối ưu như trong bảng 4.9, ta có thể thu được bộ số liệu hàm tương quan cặp g(n) theo số lớp n. Từ đó, dựa vào công thức (2.14) ta tìm được các
giá trị hàm tương quan g(r) theo khoảng cách rep như trong phụ lục B. Các số liệu này được biểu diễn bằng đồ thị trên hình 4.9 và hình 4.10.
1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 n 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4 g n
Hình 4.9: Đồ thị biểu diễn hàm tương quan cặp g(n) theo n.
2 4 6 8 1 0 1 2 r 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4 g r
Từ các số liệu tính toán ta tìm được giá trị cực đại của hàm tương quan cặp tương ứng với n = 109. Theo công thức (2.14) ta có giá trị rep tương ứng: rep = 2,821ao
(ao là bán kính Bohr). Tuy nhiên, ta cần tính toán hàm tương quan cặp tại vị trí rep = 0, tức là tại vị trí electron và positron trùng nhau. Để làm được điều này, chúng ta cần phải làm khớp hàm tương quan từ dữ liệu được lựa chọn từ vị trí electron-positron ở xa nhau đến vị trí cực đại ở trên (rep = 2,821ao). Sử dụng phần mềm tính toán Mathematica, hàm tương quan cặp được làm khớp theo dạng hàm như trong (2.34). Trong đó chọn N = 8, L = 13ao, các hệ số ci trong (2.34) thu được từ việc làm khớp được liệt kê trong bảng 4.10.
Bảng 4.10: các hệ số trong hàm được làm khớp
c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8
1.64748 -1.05793 0.48202 -0.09709 -0.11203 0.12648 -0.09192 Đồ thị của hàm làm khớp sau khi ngoại suy đến vị trí rep = 0 được trình bày trong hình 4.11. 0 2 4 6 8 1 0 1 2 r 1 2 3 4 5 6 7 g r Hình 4.11. Đồ thị hàm tương quan cặp g(r).
Giá trị ngoại suy tại điểm r = 0: g(rep=0) = 6.60 đây chính là hệ số tăng cường hủy positron trong TiO2. Từ đó dựa vào công thức (2.5) ta tính được tham số mật độ electron của hệ: rs = 2,84. Vây tốc độ hủy positron-electron theo công
thức (2.8) là: ( ) 9 s
r 3, 46 (10 /s)
Γ =
hay thời gian sống của positron trong phân tử
TiO2 là:
τ = 289 (ps)
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Trong đề tài đã giới thiệu lý thuyết tổng quan về positron, sự hủy positron, các mô hình gần đúng trong việc xây dựng hàm sóng và hàm Hamilton cho hệ electron- positron. Từ đó áp dụng cho hệ positron-TiO2, dạng hàm sóng của hệ được lựa chọn
là hàm Slater ứng với các tham số biến phân trong đó có xét đến phần góc Y ,( )θ ϕ
, hàm Hamilton được lựa chọn theo mô hình gần đúng Oppenheimer. Ngoài ra, phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử và lý thuyết hàm mật độ được nêu ra để áp dụng trong việc viết chương trình tìm các tham số biến phân trong hàm sóng. Sau khi có được bộ tham số tối ưu trong hàm sóng tiếp tục chạy chương trình để tìm hệ số tăng cường hủy từ đó tốc độ hủy positron trong phân tử TiO2 được tính toán. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chương trình tính toán được viết bằng ngôn ngữ lập trình C++, số cấu hình không gian là 300, số bước Monte Carlo là 3000 cho mỗi electron và mỗi positron. Kết quả tính toán cho bộ tham số tối ưu trong hàm sóng: λO = 5,0; λTi = 5,6; α = 0,55; β = 0,16; λpTi = 1,9; λpO = 0,3; α’ = 1,05; β’ = 0,1. Với bộ tối ưu này ta có thể xây dựng hàm sóng trạng thái cơ bản cho hệ positron-TiO2, từ đó có thể tính hệ số tăng
cường hủy g(rep=0) = 6.60, tốc độ hủy ( ) 9 s
r 3, 46 (10 / )s
Γ =
và thời gian sống của positron trong phân tử TiO2. Thời gian sống của positron được tính toán trong luận
văn này là τ 289 ( )= ps
, kết quả này phù hợp với kết quả thực nghiệm của H. P. Shivaraju [10]. Như vậy, mô hình xây dựng có thể áp dụng tính cho hệ phân tử có ba nguyên tử. Nó có thể đóng góp tích cực trong việc xây dựng một mô hình tính để nghiên cứu các vật liệu khác nhau với phân tử có ba nguyên tử.
Kiến nghị
Do điều kiện khách quan, trong đề tài nghiên cứu vẫn còn một số vấn đề chưa được thực hiện. Dó đó tôi có nguyện vọng trong thời gian sắp tới sẽ khắc phục được những vấn đề này như sau:
• Xây dựng hàm sóng một cách chính xác hơn trong đó có xét đến yếu tố spin của electron và positron trong hệ.
• Tăng số cấu hình không gian và số bước Monte Carlo lên để tăng độ chính xác các kết quả.
• Trong đề tài này, sự tương quan electron-positron được biểu diễn theo xấp xỉ Pade, trong thời gian tới sẽ tiến hành sử dụng các xấp xỉ khác như: xấp xỉ Williamson, xấp xỉ Mit để đối chiếu các kết quả với nhau.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH
1. Châu Văn Tạo, Trịnh Hoa Lăng, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Hoàng Chiến , Nguyễn Hữu Lộc (2010), “ Khảo sát năng lượng tương quan electron-
positron trong ZnO với sự hiệu chỉnh hàm sóng positron”, Hội nghị khoa học lần 7, 23/11/2010, trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt.
[1]. Châu Văn Tạo (2002), ”Nghiên cứu sự hủy positron trong kim loại và hợp kim”, luận án Tiến sĩ, trường Đại Học KHTN Tp.HCM.
[2]. Đào Đình Thức (1994), “Nguyên tử và liên kết hoá học”, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật Hà Nội.
[3]. Hoàng Dũng (1999), "Nhập môn cơ học lượng tử 1", Nhà xuất bản Giáo Dục, Tp. Hồ Chí Minh.
[4]. Nguyễn Khắc Nhạp (2003), “Cơ học lượng tử tập 2”, khoa Vật Lý trường Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.
[5]. Trịnh Hoa Lăng (2005), “Áp dụng lý thuyết hàm mật độ tính năng lượng tương quan electron – positron trong kim loại fcc”, luận văn Thạc sĩ, Trường ĐH KHTN Tp. Hồ Chí Minh.
Tiếng Anh.
[6]. Arefa Hossain (2004), “Introduction to density functional theory”, Department of Physics and Astronomy, University of British Columbia, Vancouver, Canada.
[7]. E. Boronski and R. M. Nieminen (1985), “Electron – Positron Density – Functional Theory”, Department of Physics, University of Jyvaskyl̃ ̃a , 40100
Jyvaskyl̃ ̃a , Finland.
[8]. J. Mitroy and B. Barbiellini (2001), “Enhancement factors for positron annihilation studies”, Faculty of Science, Northern Territory University, Darwin.
[9]. Jong-Gi Jee (1985), “Ortho-normalized Slater-type Orbitals”, Department of Chemistry, Teacher’s College, Kyungpook National University, Taegu 635, Korea.
[10]. H. P. Shivaraju (2010), “Hydrothermal Synthesis and Characterization of TiO2
Nanostructures on the Ceramic Support and their Photo-catalysis Performance”, Bulletin of the Catalysis Society of India. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[11]. L. M. Fraser (1995), “Coulomb Interactions and Positron Annihilation in Many Fermion Systems: A Monte Carlo Approach”, Thesis submitted for the degree of