3. Thuật toÌn dẺợi gradient vẾ phẺÈng phÌp chình lặp song song
3.3.3.PhẺÈng phÌp chình lặp trong khẬng gian vẬ hỈn chiều
Trong phần nẾy ta xÐt khẬng gian vẬ hỈn chiềuL2([0,1])vợi tÝch vẬ hẺợng
hf, gi = R01f(x)g(x)dx. XÐt hai hỨnh cầu C1 = B(f1,0.5) vợi f1(x) ≡ 1 vẾ
C2 = B(f2,0.5) vợi f2(x) ≡2.
BẾi toÌn cọ 1 nghiệm lẾ hẾm f(x) ≡ 1.5. HỨnh chiếu làn 2 hỨnh cầu ẼẺùc tÝnh theo cẬng thực Pi(y) = (1−λ)fi+ λy λ ≤ 1 y λ >1 trong Ẽọ λ = 0.5 ky −fikL2
Chồn hẾm xuất phÌt lẾx(0) = sint. Chuẩn ẼẺùc tÝnh gần Ẽụng bÍng tÝch phẪn theo cẬng thực Simpson vợi sộ Ẽiểm chia N tủy chồn. CÌc tham sộ αn = 1
n0.5−φ, γn =
n0.5+φ vợi φ = 10−6.
N RelErr time(s) Nmax
2000 0.026078 289.875 200000 1500 0.026001 343.797 300000
Kết luận
Qua ba chẺÈng, luận vẨn Ẽ· trỨnh bẾy khÌi quÌt về bẾi toÌn chấp nhận lổi vẾ cÌc thuật toÌn tuần tỳ vẾ song song Ẽể giải bẾi toÌn củng ựng dừng cũa phẺÈng phÌp chình lặp song song. ưội vợi bẾi toÌn chấp nhận lổi khi cÌc tập lổi cho ỡ dỈng tập mực dẺợi cũa hẾm lổi, tÌc giả còn chẺa Ìp dừng ẼẺùc phẺÈng phÌp chình lặp song song mờt cÌch hiệu quả. NgoẾi ra việc tÝnh toÌn cÌc dẺợi vi phẪn cần thiết cho thuật toÌn dẺợi gradient khi cÌc hẾm fi khẬng cọ ẼỈo hẾm mẾ chì cọ dẺợi vi phẪn mợi chì thỳc hiện ẼẺùc cho mờt sộ hẾm Ẽặc biệt.
HẺợng phÌt triển tiếp theo cho Ẽề tẾi lẾ:
• TỨm cÌch Ìp dừng hiệu quả hÈn phẺÈng phÌp chình lặp song song cho bẾi toÌn chấp nhận lổi. Chựng minh sỳ hời từ cho trẺởng hùp bẾi toÌn chÞu nhiễu.
• TÝnh toÌn cÌc dẺợi vi phẪn cho thuật toÌn dẺợi gradient cho cÌc trẺởng hùp hẾm f cho ỡ dỈng phực tỈp.
Do thởi gian vẾ trỨnh Ẽờ cọ hỈn, nàn dủ Ẽ· rất cộ g¾ng vẾ cúng Ẽ· hồc thàm ẼẺùc nhiều kiến thực mợi song ch¾c ch¾n luận vẨn còn cọ nhiều hỈn chế. TÌc giả rất mong nhận ẼẺùc sỳ gọp ý, nhận xÐt, phà bỨnh cũa cÌc thầy cẬ, Ẽổng nghiệp vẾ nhứng ngẺởi quan tẪm Ẽến Ẽề tẾi Ẽể tiếp từc hoẾn thiện.
TẾi liệu tham khảo
[1] Y.Alber, I.Ryazantseva,"Nonlinear ill-posed problems of monotone type", Springer, 2006.
[2] P.K.Anh, N.BẺởng , "BẾi toÌn Ẽặt khẬng chình", NXB ưH Quộc gia HẾ Nời, 2007.
[3] P. K.Anh, C.V.Chung, "Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations ", Applied Mathematics and Computation, (2009).
[4] H.H.Bauschke, J.M.Borwein, "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Review , Vol.38, (1996), 367-426
[5] S.Boyd, L.Vandenberghe,"Convex Optimization", Cambridge, 2004.
[6] S.Boyd, L.Vandenberghe,"Subgradients",Notes for EE364b, Stanford Uni- versity, Winter 2006-07, April 13, 2008.
[7] N.Buong, P.V.Son, "An explicit iteration method for convex feasibility prob- lems in Hilbert spaces", Applied Mathematical Science 2, 15, (2008), 725- 734.
[8] Y.Censor , "On sequential and parallel projection algorithms for feasibility and optimization"; Proceedings of the SPIE, Vol.4553, 2001, 1-9.
[9] Y.Censor, D.Gordon, R.Gordon, "Component averaging: An efficient itera- tive parallel algorithm for large and sparse unstructured problems", Parallel Computing 27 , 2001, pp. 777-808.
[10] N. Q. Hủng, ''HẾm khoảng cÌch vẾ mờt sộ ựng dừng", Luận vẨn thỈc sý khoa hồc, 2009.
[11] T.Lu, P.Neittaanmaki, X.-C. Tai, "A parallel splitting up method for par- tial differential equations and its application to Navier-Stokes equations", RAIRO Mathematical Modelling and Numerical Analysis 26 6, 1992, pp. 673-708.
[12] A.W.Roberts, D.E.Varberg, "Convex Functions", Academic Press, New York, (1973).
[13] R.Tyrrell Rockafellar, "Convex Analysis", Princeton University Press,1970. [14] M.Tsukada, "Convergence of best approximations in a smooth Banach
Phừ lừc A
Mờt sộ Ẽiểm lẺu ý khi tÝnh dẺợi vi phẪn
Trong mừc nẾy ta ẼẺa ra mờt sộ quy t¾c tÝnh dẺợi vi phẪn. Ta phẪn biệt hai mực Ẽờ tÝnh toÌn dẺợi vi phẪn.
Mực Ẽờ I: Vợi mối x ∈ int domf ta chì tÝnh ra mờt phần tữ nÍm trong tập dẺợi vi phẪn cũa f. Trong thỳc hẾnh ta chì cần Ẽến mực nẾy.
Mực Ẽờ II: Vợi mối x ∈ int(domf) ta mẬ tả toẾn bờ tập dẺợi vi phẪn ∂f(x). Mực Ẽờ nẾy cần dủng trong cÌc khảo sÌt lý thuyết, chỊng hỈn khi cần mẬ tả Ẽầy Ẽũ vẾ chÝnh xÌc cÌc Ẽiều kiện tội Ẻu.
1.1. Mờt vẾi tÝnh chất cũa dẺợi vi phẪn TÝnh chất 1. TÝnh thuần nhất khẬng Ẫm.
Vợi mồi α ≥ 0 ta cọ ∂(αf)(x) = α∂f(x).
TÝnh chất 2. DẺợi vi phẪn cũa tỗng vẾ tÝch phẪn.
Giả sữ f = f1 +f2 +· · ·+fm, trong Ẽọ fi (i = 1,2, . . . , m) lẾ cÌc hẾm lổi. Khi Ẽọ
∂f(x) = ∂f1(x) +. . .+∂fm(x).
TÝnh chất nẾy mỡ rờng cho cÌc tỗng vẬ hỈn, tÝch phẪn vẾ kỷ vồng(nếu tổn tỈi).
TÝnh chất 3. PhÐp hùp thẾnh vợi mờt Ình xỈ affine.