Mô hình hình học và những cách tiếp cận đa dạng trong kỹ thuật robot là một vấn đề rộng lớn, sự lựa chọn mô hình nào thông th-ờng phụ thuộc vào ứng dụng. Nh-ng nói chung trong hầu hết các tr-ờng hợp, có hai lựa chọn chính để biểu diễn W :
1) Không gian 2 chiều, trong W = R2. 2) Không gian 3 chiều, trong W = R3 .
Hình 2. 2- Một Robot điểm di chuyển trong không gian 2D, C-space là R2
27
Tuy nhiên, trong thực tế có nhiều không gian phức tạp hơn, nh- bề mặt của một hình cầu khi đó cần những không gian có số chiều lớn hơn. Nh-ng lĩnh vực tổng quát đó không đề cập tới trong luận văn này vì những ứng dụng hiện thời của chúng còn có hạn.
2.2.1.1.Mô hình đa giác :
Trong không gian hai chiều 2D, W = R2. Vùng ch-ớng ngại vật O là một tập các đa giác lồi. Biểu diễn một m-đa giác trong O đ-ợc mô tả bởi hai đặc tr-ng đó là đỉnh và cạnh.
Mỗi đỉnh t-ơng ứng tới một “góc” của đa giác, và mỗi cạnh t-ơng ứng với một đoạn nối giữa một cặp của đỉnh. Đa giác có thể đ-ợc chỉ rõ bởi đ-ờng nối liên tiếp các cặp đỉnh của m điểm bên trong R2 theo thứ tự ng-ợc chiều kim đồng hồ: ( x1, y1), ( x2, y2),... , ( xm, ym).
Hình 2.4 - Cách xác định một đa giác lồibằng phép giao của những nửa - mặt phẳng)
Một hình đa giác trong O có thể đ-ợc biểu thị nh- phép giao của m nửa mặt phẳng. Mỗi nửa mặt phẳng t-ơng ứng tới tập hợp của tất cả các điểm mà nằm ở một phía của đ-ờng thẳng trùng với cạnh của một đa giác. Hình 2.4 cho thấy một ví dụ của một hình bát giác đ-ợc biểu diễn nh- phép giao của tám nửa mặt phẳng. Một cạnh của đa giác đ-ợc chỉ rõ bởi hai điểm, nh- (x , y ) và ( x , y ). Xem xét
28
ph-ơng trình của một đ-ờng thẳng đi qua (x1,y1) và (x2,y2). Một ph-ơng trình có thể đ-ợc xác định d-ới dạng: ax + bx + c = 0. Trong đó a, b, c R là những hằng số đ-ợc xác định từ x1, y1, x2, và y2.
Cho ánh xạ f : R2 R xác định bởi hàm f(x, y ) = ax + bx + c .
Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết f(x,y) < 0 là những điểm nằm bên trái của đ-ờng thẳng, f(x,y)> 0 là những điểm nằm bên phải đ-ờng thẳng. Cho fi(x, y) biểu thị hàm f dẫn xuất từ đ-ờng thẳng mà t-ơng ứng với cạnh đi qua hai điểm từ ( xi, yi) tới (xi +1, yi +1) với 1 i < m. Cho fm(x, y) biểu thị ph-ơng trình đ-ờng thẳng t-ơng ứng với cạnh từ (xm, ym) tới ( x1, y1). Một nửa mặt phẳng Hi với 1 i m đ-- ợc xác định một tập con của W:
Hình 2.5- Dấu hiệu của f(x, y) phân chia R 2 vào ba vùng : Hai nửa - mặt phẳng thoả mãn f(x, y) < 0 và f(x, y) > 0 và đ-ờng thẳng f(x, y) = 0.
Một tập lồi, m – cạnh, vùng O ch-ớng ngại vật đa giác đ-ợc biểu thị nh- sau:
Trong đa số các ứng dụng các tập con không lồi có thể vẫn đ-ợc chấp nhận. Khi đó vùng ch-ớng ngại O đ-ợc biểu thị:
Trong đó mỗi Oi là một đa giác lồi, với Oi và Oj ( i j) không cần tách rời nhau.
(2.2)
(2.4) (2.3)
29
Với cách này chúng ta có thể biểu diễn đ-ợc rõ ràng các không gian rất phức tạp. Mặc dầu những vùng này có thể chứa đựng nhiều thành phần nh- những lỗ trống.Nói chung, trong những không gian phức tạp hơn thì cần phải biểu diễn thông qua sự kết hợp hữu hạn các phép hợp, giao, và hiệu của tập hợp mẫu; Tuy nhiên, để đơn giản hoá việc biểu diễn các mẫu ng-ời ta cố gắng sử dụng cách chỉ biểu diễn theo hai phép hợp và giao. Một tập hợp hiệu th-ờng tránh đ-ợc sử dụng để biểu diễn mẫu.Để làm đ-ợc nh- vậy ng-ời ta thay những điểm fi(x, y) < 0 trong mẫu Hi bởi những điểm - fi(x,y) 0 và định nghĩa lại một mẫu Hi’.
Một mẫu phức tạp đ-ợc kết hợp bởi những mẫu đơn giản có thể loại bỏ đ-ợc phép hiệu bằng cách áp dụng những phép biến đổi theo các luật của đại số Boolean.
Chú ý rằng sự biểu diễn của một đa giác không lồi không phải là duy nhất. Có nhiều cách để phân tách O thành các đa giác. Do vậy cần phải cẩn thận lựa chọn cách phân tách để tối -u hóa việc tính toán trong những giải thuật sử dụng mô hình. Trong đa số các tr-ờng hợp, những thành phần có thể đ-ợc cho phép giao nhau. Lý t-ởng nhất là việc lựa chọn cách biểu thị O sao cho tối thiểu nhất các mẫu .
ở đây một logic vị từ đã đ-ợc định nghĩa nh- sau: : W {TRUE, FALE}.
Hàm trả lại giá trị TRUE khi một điểm trong W nằm bên trong O, và ng-ợc lại là False . Cho một đ-ờng thẳng f(x, y ) = 0 để e(x, y) biểu thị một vị từ lôgíc trả lại giá trị TRUE nếu f(x, y) = 0, và ng-ợc lại là FALSE. Một vị từ t -ơng ứng tới một vùng đa giác lồi đ-ợc biểu diễn bởi các phép hội nh- sau:
Vị từ (x, y) trả về giá trị TRUE nếu điểm (x, y) nằm trong vùng đa giác lồi, ng-ợc lại là FALSE. Một vùng ch-ớng ngại mà gồm có n đa giác lồi đ-ợc biểu diển bởi tuyển nh- sau:
(2.5)
30
Mặc dầu tồn tại những ph-ơng pháp hiệu quả hơn, có thể kiểm tra một điểm ( x, y) nằm trong O với thời gian O(n), trong đó n là số mẫu mà xuất hiện trong biểu diễn của O ( Mỗi mẫu đ-ợc -ớc l-ợng trong hằng số thời gian). Bất kỳ mệnh đề lôgíc phức tạp đến đâu đều có thể đ-ợc tách nhỏ thành những chuẩn tuyển ( Đây th- ường được gọi “ tổng của những tích ” trong khoa học máy tính). Như vậy chúng ta có thể nói bất kỳ một không gian O luôn luôn đ-ợc biểu diễn bằng hợp của hữu hạn các phép giao những mẫu.
2.2.1.2- Mô hình đa diện:
Trong không gian ba chiều W = R3 , những khái niệm có thể đ-ợc khái quát hóa rất tốt từ tr-ờng hợp không gian 2D bởi việc thay thế đa giác bằng khối đa d iện và thay thế nửa mặt phẳng bởi nửa không gian mẫu.
Một ranh giới biểu diễn có thể đ-ợc định nghĩa d-ới dạng ba đặc tr-ng : đỉnh, cạnh, và mặt. Một vài cấu trúc dữ liệu đ-ợc đ-a ra để biểu diễn đa diện, ví dụ, cấu trúc dữ liệu chứa ba kiểu bản ghi : đỉnh, mặt và nửa cạnh (một nửa cạnh là cạnh có h-ớng).
Giả sử O là một đa diện lồi, nh- trong Hình 2.5. Một biểu diễn ba chiều có thể đ-ợc xây dựng từ những đỉnh. Mỗi mặt của O có ít nhất ba đỉnh dọc theo ranh giới của nó. Giả thiết rằng những đỉnh này không cộng tuyến, một ph-ơng trình của mặt phẳng đi qua chúng có dạng:
ax + by + cz + d = 0 (2.7)
trong đó a, b, c, d R là những hằng số. Một lần nữa, f có thể xây dựng bằng ánh xạ f : R3 R và
f(x, y, z) = ax + by + cz + d. (2.8)
với m mặt. Cho mỗi mặt của O, một nửa - không gian Hi đ-ợc định nghĩa nh- một tập con của W:
31
Điều quan trọng là chọn fi để nó giữ những giá trị âm ở trong đa diện. Trong mô hình đa giác, để thích hợp với định nghĩa fi là việc xuất phát đi vòng quanh biên theo thứ tự ng-ợc chiều kim đồng hồ. Trong tr-ờng hợp một đa diện, ranh giới của mỗi mặt là các cạnh cũng đ-ợc lấy ng-ợc chiều kim đồng hồ. (Hình 2.6b)
Ph-ơng trình cho mỗi mặt đ-ợc xác định nh- sau: Chọn ba đỉnh liên tiếp p1, p2, p3 (không đ-ợc cộng tuyến ) theo thứ tự ng-ợc chiều kim đồng hồ. Cho v12 biểu thị vectơ từ p1 tới p2, v23 biểu thị vectơ từ p2 đến p3. Tích v = v12 x v23 luôn luôn là một vectơ nằm trong mặt phẳng gọi là vectơ hồi. Véc tơ [a b c] song song với mặt phẳng. Nếu những thành phần của nó đ-ợc chọn là a = v[1], b=v[2], c = v[3], thì f(x, y, z) = 0 cho mọi điểm trong nửa - không gian chứa đa diện.
Hình 2.6: (a) Mô tả một đa diện d-ới dạng mặt, cạnh, và đỉnh. ( b) Những cạnh của mỗi mặt có thể đ-ợc l-u trữ trong chu trình theo thứ tự ng-ợc chiều kim đồng hồ.
Trong tr-ờng hợp của một đa giác mẫu, một đa diện lồi có thể đ-ợc định nghĩa nh- giao của một số hữu hạn những nửa - không gian, cho mỗi mặt. Một đa diện không lồi có thể đ-ợc định nghĩa nh- hợp của một số hữu hạn các đa diện lồi. Vị từ
(x, y, z) có thể đ-ợc định nghĩa t-ơng tự là TRUE nếu ( x, y, z) O, và FALSE trong tr-ờng hợp ng-ợc lại.
32 2.2.2. mô hình nửa Đại số
Trong những mô hình đa giác và đa diện, f là một hàm tuyến tính.
Trong tr-ờng hợp của một mô hình nửa đại số của không gian 2D, f là đa thức với những hệ số bất kỳ của hai biến thực x và y. Trong không gian 3 chiều, f là một đa thức với ba biến thực x, y, z. Lớp những mô hình nửa đại số bao gồm cả hai mô hình đa diện và đa giác, mà sử dụng tr-ớc hết cho đa diện. Một tập hợp điểm xác định bởi một mẫu đa thức đơn đ-ợc gọi một tập hợp đại số; Một tập hợp điểm mà có thể thu đ-ợc bởi một số hữu hạn của những phép hợp và phép giao những tập hợp đại số đ-ợc gọi một tập nửa đại số.
Xem xét tr-ờng hợp của không gian 2D. Một biểu diễn 3 chiều có thể đ-ợc định nghĩa sử dụng những mẫu đại số có mẫu dạng:
Hình 2.7 : (a) Hàm f đ-ợc sử dụng để phân chia R2 vào trong hai vùng.
(b) Vùng “ mặt ” được mô hình bằng cách sử dụng bốn mẫu đại số.
Ví dụ 2.1 cho f = x2 + y2 - 4. Trong tr-ờng hợp này, H đại diện đ-ờng tròn bán kính r =2, tâm đ-ợc đặt đúng ở gốc. Điều này t-ơng ứng tới tập hợp của những điểm (x, y) cho f(x, y) = 0, nh- đ-ợc miêu tả trong Hình 2.7a.
33
Ví dụ 2.2 (khuôn mặt) xem xét việc xây dựng một mô hình của vùng đậm màu trong Hình 2.7b. Hãy cho vòng tròn ngoài có bán kính r1 và tâm đ-ợc đặt tại gốc. Giả thiết “ đôi mắt ” có bán kính r2 và r3 và đ-ợc tâm ở tại (x2,y2) và (x3,y3), t-ơng ứng cho “ miệng ” một hình ê-líp với trục chính a và trục phụ b và đ-ợc tâm ở ( 0, y4).
Những hàm đ-ợc định nghĩa nh- sau:
Cho f2, f3, và f4, là những ph-ơng trình đ-ờng tròn và hình ê-líp đ-ợc nhân với - 1 để sinh ra những mẫu đại số cho tất cả các điểm bên ngoài đ-ờng tròn hoặc hình ê-líp. Vùng O đậm màu đ-ợc t-ơng ứng nh- sau:
Trong tr-ờng hợp của những mô hình nửa đại số, phép giao của những mẫu không nhất thiết kết quả trong một tập con lồi W. Nói chung, nó có thể cần thiết để hình thành O bởi việc lấy hợp và giao của những mẫu đại số.
Rõ ràng biểu diễn bằng mô hình nửa đại số có thể khái quát hóa dễ dàng tr-ờng hợp không gian 3 chiều.
Dạng đại số nguyên thuỷ của mẫu :
Có thể sử dụng để định nghĩa một biểu diễn của một ch-ớng ngại 3 chiều O và một vị từ lôgíc . Những ph-ơng trình (2.10) và (2.13 ) đủ để biểu thị bất kỳ mô hình nào cần quan tâm. Có thể định nghĩa mẫu theo nhiều cách khác dựa vào những quan hệ khác nhau, nh- :
(2.11)
(2.12)
34
f(x, y, z) 0, f(x, y, z) = 0, f(x, y,z) < 0, f(x, y, z) = 0, và f(x, y, z) 0 Xét mẫu:
có thể biểu diễn theo cách khác nh- - f(x, y, z) 0, và - f có thể đ-ợc xem xét nh- một hàm đa thức mới của x, y, z. Cho một ví dụ qua hệ bằng:
Có thể thay H = H1 H2, với :
và
Quan hệ < tăng thêm sức mạnh có ý nghĩa nào đó khi xây dựng những mô hình không chứa đ-ờng biên ngoài. Chú ý rằng phần đậm màu luôn luôn ở bên trái khi đi theo những mũi tên.
Hình 2.8 : Một đa giác với những lỗ trống có thể đ-ợc biểu diễn bởi việc sử dụng chu trình khác nhau : Ng-ợc chiều kim đồng hồ cho biên ngoài và thuận chiều kim đồng hồ ở ranh giới giữa phía ngoài lỗ hổng.
(2.15)
(2.16)
35 2.3- Các phép biến đổi của robot
Xét trong C-không gian 2D một robot có thể quay hoặc tịnh tiến.
1- Phép tịnh tiến: Một robot tĩnh A R2 đ-ợc tịnh tiến bởi việc sử dụng hai tham số, xt, yt R. q = ( xt, yt), và h đ-ợc định nghĩa
A có thể đang tịnh tiến bởi đi một khoảng, khi đó mỗi điểm, ( xi, yi), lần l-ợt đ-ợc thay thế bằng ( xi + xt, yi + yt).
Trong hình 2.9, có hai cách xem xét sự biến đổi vật thể tĩnh A : 1) Không gian cố định và robot đ-ợc thay đổi. 2) Robot cố định và không gian thay đổi.
( a) ) Tịnh tiến Robot ( b) Tịnh tiến khung
Hình 2.9 - Hai cách giải thích cho phép tịnh tiến.
2- Phép quay: Robot, A, có thể đ-ợc quay ng-ợc chiều kim đồng hồ bởi các góc [ 0, 2 ) bởi ánh xạ mỗi ( x, y) A nh- sau:
(2.18)
36
Sử dụng một ma trận quay 2 x 2 :
đ-ợc viết nh- sau:
3- Kết hợp phép tịnh tiến và phép quay:
Giả sử sau khi quay với góc , sau đó tịnh tiến tới xt, yt. Điều này có thể sử dụng để đặt robot trong bất kỳ vị trí và sự định h-ớng mong muốn nào. Chú ý rằng những phép tịnh tiến và phép quay theo một chiều. Nếu những thao tác ứng dụng liên tiếp, mỗi ( x, y) A đ-ợc biến đổi :
Phép nhân ma trận sau sinh ra kết quả cho hai thành phần vectơ đầu tiên :
Ma trận trung gian 3x3 :
trình bày một phép quay theo h-ớng tịnh tiến. Ma trận T sẽ đ-ợc quy về nh- một ma trận biến đổi thuần nhất. Đó là điều quan trọng để T đại diện một phép quay theo h-ớng tịnh tiến. Mỗi mẫu có thể đ-ợc biến đổi sử dụng chuyển vị T, kết quả bên
(2.20)
(2.21)
(2.23) (2.22)
37
trong một biến đổi không gian 3 chiều của robot. Biến đổi robot đ-ợc biểu thị bởi A(xt, yt, ), và trong tr-ờng hợp này có ba bậc tự do. Ma trận biến đổi thuần nhất là một biểu diễn thuận lợi của những sự biến đổi kết hợp ; Bởi vậy, nó th-ờng xuyên đ-ợc sử dụng trong kỹ thuật rôbôt, máy cơ học, đồ hoạ máy tính, và một số lĩnh vực khác. Nó đ-ợc gọi thuần nhất bởi vì qua R3 nó là chỉ là một sự biến đổi tuyến tính mà không có bất kỳ tịnh tiến nào. Thủ thuật của việc tăng thêm kích th-ớc để hấp thụ phần tịnh tiến chung trong phép chiếu hình học.
2.4. Không gian Cấu hình ch -ớng ngại vật
Một giải thuật lập lộ trình chuyển động phải tìm thấy một đ-ờng dẫn trong không gian rỗng (Free Space) từ cấu hình ban đầu (qI) đến cấu hình đích (qG). Đầu ch-ơng chúng ta đã có khái niệm sơ khai về cấu hình không gian ch-ớng ngại vật. Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết hơn về vấn đề này.
Vùng ch-ớng ngại vật
Giả thiết không gian W = R2 hoặc W = R3, chứa đựng một vùng ch-ớng ngại
O W. Đồng thời cũng giả thiết A là một robot cứng, A W, A và O đ-ợc trình
bày nh- những mô hình nửa đại số ( mà bao gồm những mô hình đa diện và đa giác). Cho q C biểu thị cấu hình của A, trong đó q= (xt, yt, ) với W = R2 và q= (xt, yt, zt, h) với W = R3 (h là đơn vị quaternion).
Vùng ch-ớng ngại, Cobs C, đ -ợc định nghĩa nh- sau:
Cobs là tập hợp của tất cả các cấu hình q, ở đó A(q) (trạng thái của robot tại cấu hình q) giao với vùng ch-ớng ngại O. O và A(q) là những tập hợp đóng bên trong W,