2. Tập cho học sinh nêu dự đoán
2.3.3. tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo
Ví dụ 1: Khi dạy về định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000 đưa trực tiếp định lí. Nhưng sách giáo khoa thí điểm lại không đưa định lí một cách trực tiếp mà dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai nhờ nhận xét trường hợp
af(x) < 0 khi ∆ >0 và f x( ) 0= có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Giáo viên khi dạy định lí
này có thể thiết kế bài giảng như sau:
- Ra bài toán: Chứng tỏ phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m. 2 4 2 1 2 1 4 2 0 2 x m m x m − + + + + =
Giáo viên hướng dẫn, gợi ý cho học sinh như sau:
+ Chúng ta có những cách nào để chứng minh một phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt?
Đối với bài toán này có giải được bằng những phương pháp trên không? (P = ac<0 không dùng được, việc tính ∆ khá phức tạp).
Chúng ta có thể dựa vào những kiến thức đã học nào để tìm cách giải bài toán trên? Dựa vào bảng tóm tắt về dấu tam thức bậc hai hãy cho biết af(x) < 0 khi nào ? Từ đó, giáo viên hướng dẫn học sinh lập mệnh đề đảo: Cho α ∈R, nếu af(x) < 0 thì thu được kết quả gì? (nếu tồn tại α ∈Rsao cho af(x)<0 thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2)và x1< α< x2).
Ví dụ 2: Khi dạy bài hệ thức lượng trong đường tròn, khái niệm phương tích của một điểm đối với một đường tròn: Nếu qua điểm M có hai cát tuyến MAB và MCD với đường tròn (O,R) thì ta có MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur. = . (*). Vấn đề đặt ra là nếu có bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn (*) thì có tồn tại một đường tròn đi qua bốn điểm đó hay không ? Đây là một mệnh đề đảo đúng và có thể chứng minh. Tìm được mệnh đề này, học sinh đã bổ sung thêm cho mình một cách chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Tuy nhiên, nhiều khi một định lí thuận không tồn tại định lí đảo nhưng việc tập cho học sinh lập mệnh đề đảo trong một số trường hợp có thể được cũng mang lại những ích lợi nhất định. Chẳng hạn rèn luyện được cho học sinh có tư duy thuận nghịch, làm cho học sinh hiểu sâu hơn định lí vừa học....Ví dụ: dãy (Un) có giới hạn thì bị chặn suy ra: Bị chặn thì chưa chắc có giới hạn nhưng không bị chặn thì không có giới hạn.
Hay khi học định nghĩa hàm số f(x) liên tục tại điểm x0: f(x) liên tục tại điểm x0
0 0
lim ( ) ( )
x x f x f x
→
⇔ = . Vậy nếu y = f(x) không liên tục tại điểm x0 (gián đoạn tại điểm x0)
thì lim ( )0 ( )0
x x f x f x
→ ≠ .