(xem[18]).
Định nghĩa 2.1.1
Giả sử (M, ω) là một đa tạp symplectic và Z =C∞(M)[[ν]] là không gian tuyến tính các chuỗi luỹ thừa hình thức a(x, ν) = ∞k=0νkak(x) với các hệ tử
ak(x)∈C∞(M).
L}ợng tử hoá biến dạng củaC∞(M)(hay còn gọi là l}ợng tử hoá biến dạng trên đa tạp M) là một đại số kết hợp xây dựng trên Z với một - tích kết hợp thoả mãn các tính chất sau
1. - tích có tính chất địa ph}ơng, tức là hệ tửck(x) của tích
c(x, ν) =a(x, ν) a(x, ν) =
∞
k=0
νkck(x),
chỉ phụ thuộc vào các hệ tử∂αai và ∂βbj vớik≥|α|+|β |+i+j ≥0.
2. -tích là biến dạng của tích giao hoán thông th}ờng các hàm trên M
c0(x) =a0(x).b0(x).
3. - tích thoả mãn tích t}ơng thích hay
a b−b a=−iν{a0, b0}+o(ν),
trong đó{., .} là móc Poisson các hàm, còn dấu ba chấm thể hiện các số hạng bậc cao hơnν. ởđây ν là một tham biến hình thức (còn gọi là tham biến biến dạng) không có vai trò gì đặc biệt, miễn là khác không. Nói cách khác, một - tích (khả vi) hình thức trên đa tạp symplectic(M, ω) là một ánh xạ song tuyến tính C∞(M)ìC∞(M) →C∞(M)[[ν]], (u, v)→u νv= ∞ r=0 νrCr(u, v), thỏa mãn i. (u νv)νw=u ν (v ν w), ii. C0(u, v) =u.v, C1(u, v)−C1(v, u) = 2{u, v}, iii. 1νu=u ν1 =u,
iv. CácCr là các toán tử song khả vi trên M (tính khả vi của- tích), Với u, v ∈C∞(M), ta ký hiệulu,ru là toán tử nhân trái và nhân phải trong đại số (Z, ) sao cho lu(v) =u.v=rv(u). Nếu- tích là khả vi thì các toán tử
rv, lu là khả vi hình thức. Các tính chất sau của - tích đ}ợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa: Mệnh đề 2.1.2 xem [6], (1). Với mọi t∈N, u, v, ∈C∞(M), thì r+s=tr,s≥0 Cr(Cs(u, v), w) = r+s=tr,s≥0 Cr(u, Cs(v, w)), (2). Cr(u, c) =Cr(c, u) = 0,∀r ≥1, u∈C∞(M), c∈R, (3). c u=u c=c.u,∀c∈R,
(4). Tính chất kết hợp của - tích tuơng đuơng với toán tử lu giao hoán đuợc với rv, với mọi u, v∈C∞(M).
Chứng minh Ta nêu cách chứng minh tính chất thứ t}.
Với mọi u, v, ∈ C∞(M), ta có u (v w) = (u v) w ⇐⇒lu(v w) =
rw(u w)⇐⇒lu(rw(v)) =rw(lu(v))⇐⇒lu◦rw(v) =rw◦lu(v). Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Chú ý
• Một- tích có thể chỉ xác định trên một tập con tuỳ ý của C∞(M) miễn là nó ổn định d}ới- tích và móc Poisson.
• Một- tích có thể không khả vi, nói cách khác, khả vi chỉ là một tính chất của - tích hình thức. Tuy nhiên, vì phần tiếp theo của luận văn ta chỉ dùng đến- tích khả vi nên chúng tôi dùng định nghĩa trên của Fedosov.
• Nguyên tắc t}ơng thích trong định nghĩa, hay ii. ở trên kéo theo giao hoán tử xác định bởi[u, v] =u v−v umà hiển nhiên chuyển Z thành một đại số Lie, có dạng:
[u, v]=−iν{u, v}+ã ã ã
Từ đó ta có thể ký hiệu - biểu diễn phụ hợp là adu(v) = [u, v]. Nh}
thế- tích làm biến dạng hai cấu trúc cổ điển trên C∞(M):cấu trúc đại số giao hoán đối với phép nhân các hàm và cấu trúc đại số Lie cho bởi móc Poisson.
Sự tồn tại của l}ợng tử hoá biến dạng trên đa tạp symplectic có thể nói ngắn gọn nh} sau: (chi tiết chứng minh xem [18]).
TxM một cấu trúc của một không gian symplectic. Ng}ời ta định nghĩa đại số Weyl hình thức Wx ứng với mỗi không gian tiếp xúc TxM là một đại số kết hợp trên C, có đơn vị, các phần tử của nó là các chuỗi luỹ thừa hình thức
a(y,) =
k,|α|≥0
kak,αyα. (2.1)
trong đó là tham biến hình thức, y = (y1, y2, ....y2n) ∈ TxM là véc tơ tiếp xúc; α= (α1, α2,ã ã ã, α2n) là đa chỉ số sao cho yα= (y1)α1ã ã ã(y2n)α2n.
Tích các phần tử a, b ∈Wx đ}ợc cho bởi quy tắc Moyal-Weyl
a◦b=exp(−i 2ω ij ∂ ∂yi ∂ ∂zj)a(y,)b(z,)|z=y. (2.2) Công thức này chính là công thức tích của hai ký hiệu (symbol) a(y), b(y) trong l}ợng tử hoá Weyl khai triển thành chuỗi luỹ thừa hình thức theo . Vì vậy ta có thể khẳng định tích này có tính kết hợp và không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở trongTxM. Điểm khác nhau ở đây là thay vì xét các hàm trơn, ta xét các chuỗi luỹ thừa hình thức. Tham biến ν th}ờng đ}ợc lấy là −i
2 để thể hiện ý
nghĩa vật lý của khái niệm.
Lấy hợp các đại sốWx, x∈M ta thu đ}ợc một không gian phân thớ của đại số Weyl hình thức. Các lát cắt của phân thớ này tại địa ph}ơng là các ”hàm”:
a=a(x, y,) =
k,|α|≥0
kak,α(x).yα.
Xét không gian các dạng vi phân trên M, nhận giá trị trong phân thớ Weyl
Ω⊗W. Chi tiết khái niệm xem thêm trong [1]. Không gian này chấp nhận một sự phân bậc tự nhiên: C∞(W ⊗Ω) = 2 n k=0 C∞(W ⊗Ωk).
Xây dựng một phép vi phân hiệp biến D trên không gian các dạng vi phân nhận giá trị trong phân thớ Weyl sao cho D2 = 0. Khi đó ta thu đ}ợc dãy khớp sau, t}ơng tự nh} dãy khớp trong đối đồng điều De-Rham:
0−→C∞(W)−→C∞(W ⊗Ω1)−→C∞(W ⊗Ω2)−→ ã ã ã Đặt Hp(W) = KerDp ImDp+1 và phép chiếu σ:C∞(W⊗Ω)−→C∞(M)[[]], a(x, y,, dx)→a(x,0,,0). Khi đó ta có định lý sau:
Định lý 2.1.3 :Ta có
1) Hp(W) = 0với mọip >0 vàWD=KerD0=H0(W).
2) Với mọi a0∈C∞(M)[[]] luôn tồn tại duy nhất a∈WD để σ(a) =a0
Định lý trên phát biểu rằng σ :C∞(M)[[]]→ WD là một đẳng cấu. Ký hiệu ánh xạ ng}ợc là Q. Do WD ổn định d}ới ◦-tích do đó Q mang cấu trúc ◦- tích lên Z để trở thành một - tích.
Cụ thể hơn
a b=σ(Q(a)◦Q(b))
- tích này đ}ợc gọi là - tích Fedosov, ký hiệu là F-tích. Hiển nhiên rằng- tích này thoả mãn các tính chất trong định nghĩa 3.1.1. Nh} vậy ta dã chứng minh đ}ợc - tích Fedosov tồn tại trên mọi đa tạp symplectic tuỳ ý. Hơn nữa vào năm 1995, Nest, Tsygan, Deligne và Berteson đều chứng minh đ}ợc trên mọi đa tạp symplectic (M, ω), mọi - tích đều đẳng cấu với F− tích(Hai - tích 1 và 2 đ}ợc gọi là t}ơng đ}ơng nếu tồn tại đẳng cấuTν =∞r=1νrTr, Tr
là các toán tử song khả vi trên M, sao cho Tν(u 1v) = (Tν1Tνv)).