Durbin-Watson
d 2(1 - ) hay
=> xấp xỉ và có thể không đúng với mẫu nhỏ. Đối với các mẫu nhỏ có thể sử dụng thống kê d cải biên của Theil – Nagar.
ˆ 2 d 1 ˆ 2 2 2 2 2 1 k n k ) / d ( n ^
Một khi có được giá trị của , ta có thể dùng các chuyển đổi như đã nêu ở trên
2. 3 Thủ tục lặp Cochrance – Orcutt để
ước lượng
Phương pháp này sử dụng các phần dư et đã được ước lượng để thu được thông tin về chưa biết.
Ta xét phương pháp này dựa trên mô hình hai biến sau:
yt = 1 + 1xt + ut (4.34)
Giả sử ut được sinh ra từ phương trình AR(1):
ut = ut – 1 + et (4.35)
Các bước ước lượng được tiến hành như sau:
Các bước ước lượng được tiến hành như sau:
Bước 1: Ước lượng mô hình (4.34) bằng phương pháp OLS và thu được các phần dư et.
Bước 2: Sử dụng các phần dư để ước lượng hồi qui:
et = et – 1 + vt (4.36)
Lưu ý đây là hồi quy qua gốc. Do et là ước lượng
vững của ut thực nên ước lượng có thể thay
cho thực.
Bước 3: sử dụng thu được từ (4.36) để ước lượng phương trình sai phân tổng quát (4.26). Tức phương trình: yt - yt – 1 = 1 (1 - ) + 1(xt - xt –1) + (ut – ut –1) Hay yt* = 1* + 1* xt* + vt ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Bước 4: Vì chúng ta chưa biết trước rằng thu được từ (4.36) có phải là ước lượng tốt nhất của hay không. Ta thế giá trị ước
lượng của 1* và 1* thu được từ (4.37) vào hồi qui gốc (4.34) và thu được các phần dư mới et*:
et* = yt – (1* + 1* xt) (4.38)
Ước lượng phương trình hồi qui tương tự với (4.36).
et* = e*t – 1 + wt (4.39) là ước lượng vòng 2 của .
Thủ tục này tiế tục cho đến khi các ước lượng kế tiếp nhau của khác nhau một lượng rất nhỏ, chẳng hạn nhỏ hơn 0,05
ˆ
2. 4 Phương pháp Durbin – Watson 2 bước để ước lượng
Để minh hoạ phương pháp này, chúng ta viết lại phương trình sai phân tổng quát dưới dạng sau:
yt = 1(1 - ) + 1 xt – 1xt – 1 + yt – 1 + et (4.40)
Durbin đã đề xuất thủ tục 2 bước như sau để ước lượng :
Bước 1: Coi (4.40) như là một mô hình hồi qui bội, hồi qui yt theo xt, xt – 1 và yt – 1 và
coi giá trị ước lượng được đối với hệ số hồi qui của yt – 1 (= ) là ước lượng của .
Mặc dầu là ước lượng chệch nhưng ta có
2. 4 Phương pháp Durbin – Watson 2 bước để ước lượng
Bước 2: Sau khi thu được , hãy biến đổi yt* = yt - yt – 1 và xt* = xt - xt –1
và ước lượng hồi qui (4.27) với các biến đã được biến đổi như trên.
Như vậy, theo phương pháp này thì bước 1 là để ước lượng còn bước 2 là để thu
được các tham số.
ˆ
ˆ
Ví dụ: Cho các số liệu về thu nhập (Y) và tiêu dùng (C) trong khoảng thời gian từ 1975-2005 cho ở bảng (4.5).
Hồi qui C theo Y ta được kết quả: = -161,5117 + 0,6841864Yt
Durbin – Watson d – statistic (2,31) = 0,6838804.
Tra bảng với n = 31; k = 1; Ta được dL = 1,363; dU = 1,496. Vì d < dL do đó có tự tương quan dương.
Ví dụ: (tt)
Áp dụng phương pháp Durbin –Watson 2